Statistique (séries à 2 variables) — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: الإحصاء يلخص ويحلل البيانات الاقتصادية: المتوسط، الانحراف المعياري، سلاسل الأسعار أو المبيعات.

I. السلسلة الإحصائية المزدوجة

تعريف

السلسلة الإحصائية المزدوجة هي مجموعة من $n$ أزواج $(x_{i}, y_{i})$ تمثل صفتين مقاستين على نفس المجتمع.

سحابة النقط

نمثل الأزواج $(x_{i}, y_{i})$ في معلم ديكارتي. مجموع النقط يسمى سحابة النقط.

II. النقطة المتوسطة

النقطة المتوسطة $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ لسلسلة مزدوجة إحداثياتها:

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}, \overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n y_{i}$

III. التباين والانحراف المعياري

تباين $x$ : $V (x) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$
الانحراف المعياري لـ $x$ : $σ (x) = V (x)$
نفس الشيء بالنسبة لـ $V (y)$ و $σ (y)$ .

IV. التباين المشترك

تعريف

التباين المشترك للزوج $(x, y)$ هو:

$Cov (x, y) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) (y_{i} - \overset{y}{ˉ}) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

V. التوفيق التآلفي بطريقة المربعات الصغرى

مستقيم الانحدار لـ $y$ بدلالة $x$

أفضل مستقيم يوفق سحابة النقط هو $y = a x + b$ حيث:

$a = \frac{Cov ( x , y )}{V ( x )}, b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$

هذا المستقيم يمر دائماً بالنقطة المتوسطة $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .

VI. معامل الارتباط الخطي

تعريف

$r = \frac{Cov ( x , y )}{σ ( x ) \cdot σ ( y )}$

خاصية: $- 1 \leq r \leq 1$ .

$r \approx 1$ : ارتباط قوي موجب (متزايد)
$r \approx - 1$ : ارتباط قوي سالب (متناقص)
$r \approx 0$ : لا يوجد ارتباط خطي (السحابة غير قابلة للاصطفاف)
عملياً، نعتبر أن هناك ارتباطاً خطياً جيداً إذا كان $∣ r ∣ > 0, 9$ .

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطيات: سجلنا نقط الرياضيات ( $x$ ) والفيزياء ( $y$ ) لـ 5 تلاميذ:

$x_{i}$	10	12	14	15	18
$y_{i}$	11	13	13	16	17

حدد مستقيم الانحدار لـ $y$ بدلالة $x$ .

الحل:

$\overset{x}{ˉ} = (10 + 12 + 14 + 15 + 18) /5 = 13, 8$ . $\overset{y}{ˉ} = (11 + 13 + 13 + 16 + 17) /5 = 14$ .

حساب Cov $(x, y)$ : $\frac{1}{5} (10 \cdot 11 + 12 \cdot 13 + 14 \cdot 13 + 15 \cdot 16 + 18 \cdot 17) - 13, 8 \cdot 14$
$= \frac{110 + 156 + 182 + 240 + 306}{5} - 193, 2 = 198, 8 - 193, 2 = 5, 6$

حساب $V (x) = \frac{1}{5} (100 + 144 + 196 + 225 + 324) - 13, 8^{2} = 197, 8 - 190, 44 = 7, 36$ .

$a = 5, 6/7, 36 \approx 0, 76$ .
$b = 14 - 0, 76 \times 13, 8 \approx 3, 5$ .
مستقيم الانحدار: $y \approx 0, 76 x + 3, 5$ .

VIII. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين التباين والانحراف المعياري. $σ = V$ .
القسمة على $n - 1$ بدلاً من $n$ . في الثانوية المغربية، نستعمل $n$ (التباين الخام).
نسيان التحقق من جودة التوفيق بواسطة $r$ قبل الاستنتاج.
الخلط بين $a$ (الميل) و $b$ (الإحداثي على محور الأراتيب) في الصيغة.

📈 Figure clé

Nuage de points et droite d'ajustement (régression)

🔑 Formules clés à retenir

المتوسطات: $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ ، $\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum y_{i}$

التباين: $V (x) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$

التباين المشترك: $Cov (x, y) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

مستقيم الانحدار: $y = a x + b$

$a = Cov (x, y) / V (x)$
$b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$
يمر بـ $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$

معامل الارتباط:

$r = Cov (x, y) / (σ (x) σ (y))$ ، حيث $∣ r ∣ \leq 1$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 احسب $\overset{x}{ˉ}$ و $\overset{y}{ˉ}$ أولاً. جميع الصيغ الأخرى تعتمد عليهما.
🎯 تحقق من نتيجتك: مستقيم الانحدار يجب أن يمر بـ $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .
🎯 إذا كان $∣ r ∣ < 0, 9$ ، فالتوفيق الخطي غير موثوق. اذكر ذلك في استنتاجك.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الإحصاء (السلاسل ذات متغيرين)

النوع 1: إنشاء سحابة النقط

متى؟ عندما نتوفر على سلسلة مزدوجة $(x_{i}, y_{i})$ ويُطلب التمثيل البياني.

اختر معلماً وسلالم مناسبة لقيم $x$ و $y$ .
ضع كل ثنائي $(x_{i}, y_{i})$ كنقطة $M_{i}$ في المستوى.
لاحظ شكل السحابة: إذا كانت ممتدة على طول مستقيم، فإن التعديل التآلفي مناسب.

مثال سريع: بالنسبة للثنائيات $(1, 2), (2, 3), (3, 5)$ ، نضع ثلاث نقط تصطف تقريباً.

النوع 2: حساب النقطة المتوسطة

متى؟ عندما يُطلب النقطة المتوسطة $G$ للسحابة (مستقيم الانحدار يمر دائماً بهذه النقطة).

احسب متوسط $x$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ .
احسب متوسط $y$ : $\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum y_{i}$ .
النقطة المتوسطة هي $G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $x : 1, 2, 3$ و $y : 2, 3, 5$ : $\overset{x}{ˉ} = 2$ ، $\overset{y}{ˉ} = \frac{10}{3}$ ، إذن $G (2; \frac{10}{3})$ .

النوع 3: حساب التباين والانحراف المعياري

متى؟ عندما نحتاج إلى $V (x)$ أو $σ_{x}$ للتباين المشترك أو الارتباط أو الانحدار.

طبق صيغة التباين: $V (x) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ .
احسب بنفس الطريقة $V (y) = \frac{1}{n} \sum y_{i}^{2} - \overset{y}{ˉ}^{2}$ .
الانحراف المعياري هو $σ_{x} = V (x)$ (و $σ_{y} = V (y)$ ).

مثال سريع: إذا كان $\frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} = 5$ و $\overset{x}{ˉ} = 2$ ، فإن $V (x) = 5 - 4 = 1$ و $σ_{x} = 1$ .

النوع 4: حساب التباين المشترك

متى؟ خطوة ضرورية قبل مستقيم الانحدار ومعامل الارتباط.

احسب $\frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i}$ (متوسط الجداءات).
طبق الصيغة: $cov (x, y) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$ .
إشارة التباين المشترك تدل على اتجاه العلاقة (موجبة: $y$ يتزايد مع $x$ ).

مثال سريع: إذا كان $\frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} = 8$ ، $\overset{x}{ˉ} = 2$ ، $\overset{y}{ˉ} = 3$ ، فإن $cov (x, y) = 8 - 6 = 2$ .

النوع 5: تحديد مستقيم انحدار $y$ بالنسبة لـ $x$

متى؟ عندما يُطلب معادلة $y = a x + b$ لمستقيم التعديل بطريقة المربعات الصغرى.

احسب المعامل الموجه: $a = \frac{cov ( x , y )}{V ( x )}$ .
احسب الإحداثية عند الأصل: $b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$ (المستقيم يمر بـ $G$ ).
اكتب المعادلة $y = a x + b$ .

مثال سريع: $cov (x, y) = 2$ ، $V (x) = 1$ ، $\overset{x}{ˉ} = 2$ ، $\overset{y}{ˉ} = 3$ : $a = 2$ ، $b = 3 - 4 = - 1$ ، إذن $y = 2 x - 1$ .

النوع 6: حساب معامل الارتباط

متى؟ عندما يُطلب جودة التعديل التآلفي (إلى أي مدى النقط مصطفة).

طبق الصيغة: $r = \frac{cov ( x , y )}{σ _{x} σ _{y}}$ .
احسب القيمة (محصورة دائماً بين $- 1$ و $1$ ).
فسّر: إذا كان $∣ r ∣$ قريباً من $1$ ، فإن الارتباط قوي والتعديل التآلفي مبرر.

مثال سريع: $cov (x, y) = 2$ ، $σ_{x} = 1$ ، $σ_{y} = 2, 1$ : $r = \frac{2}{1 \times 2 , 1} \approx 0, 95$ (ارتباط قوي).

النوع 7: إجراء توقع باستخدام مستقيم الانحدار

متى؟ عندما يُطلب تقدير قيمة $y$ لقيمة $x$ معطاة (أو العكس)، غالباً إسقاط مستقبلي.

استرجع معادلة المستقيم $y = a x + b$ .
عوّض $x$ بالقيمة المطلوبة.
احسب $y$ : هذه هي القيمة المقدرة.
إذا كانت $y$ معلومة ونبحث عن $x$ ، حل المعادلة بالنسبة لـ $x$ .

مثال سريع: مع $y = 2 x - 1$ ، من أجل $x = 6$ : $y = 2 \times 6 - 1 = 11$ .

Statistique (séries à 2 variables) — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

19 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 19 corrigés

Exercices Faciles

8 exercices

Salaires d'une petite entreprise

Facile

Énoncé

تستخدم مؤسسة صغيرة

8

موظفين. رواتبهم الشهرية الصافية بالدرهم هي:

3200, 3500, 3500, 4000, 4200, 4800, 5200, 7600.

1) احسب متوسط الراتب

\overset{x}{ˉ}

.
2) حدد الوسيط

M_{e}

لهذه السلسلة.
3) قارن بين المتوسط والوسيط وفسر ذلك اقتصادياً.

Ma réponse

Statistique (séries à 2 variables)

Statistique (séries à 2 variables) — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. السلسلة الإحصائية المزدوجة

تعريف

سحابة النقط

II. النقطة المتوسطة

III. التباين والانحراف المعياري

IV. التباين المشترك

تعريف

V. التوفيق التآلفي بطريقة المربعات الصغرى

مستقيم الانحدار لـ y بدلالة x

VI. معامل الارتباط الخطي

تعريف

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VIII. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الإحصاء (السلاسل ذات متغيرين)

النوع 1: إنشاء سحابة النقط

النوع 2: حساب النقطة المتوسطة

النوع 3: حساب التباين والانحراف المعياري

النوع 4: حساب التباين المشترك

النوع 5: تحديد مستقيم انحدار y بالنسبة لـ x

النوع 6: حساب معامل الارتباط

النوع 7: إجراء توقع باستخدام مستقيم الانحدار

Statistique (séries à 2 variables) — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Salaires d'une petite entreprise

Prix d'un produit sur une semaine

Moyenne et variance

Calcul de variance par formule directe

Mode et médiane

Calcul moyenne pondérée

Point moyen

Moyenne pondérée

Exercices Intermédiaires

Ventes mensuelles d'un commerçant

Comparaison de deux points de vente

Augmentation uniforme des salaires

Médiane et quartiles

Coefficient de corrélation

Covariance par formule directe

Coefficient de corrélation

Covariance

Coefficient de corrélation

Estimation par la droite de régression

Variance par formule de König

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Statistique (séries à 2 variables)

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

مستقيم الانحدار لـ $y$ بدلالة $x$

النوع 5: تحديد مستقيم انحدار $y$ بالنسبة لـ $x$