كم تمرينًا مصحّحًا في درس «نهايات الدوال» ؟

يتوفّر 50 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «نهايات الدوال» في 1ère Bac Sciences Éco ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «نهايات الدوال» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ1ère Bac Sciences Éco بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Limites de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: تدرس النهايات سلوك التكلفة أو الطلب عندما تميل الكمية نحو 0 أو نحو اللانهاية.

I. النهايات في $+ \infty$ و $- \infty$

نهاية منتهية

تعريف

نقول إن $f$ لها نهاية $ℓ$ في $+ \infty$ ، ونكتب $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ ، إذا كانت $f (x)$ تقترب بقدر ما نريد من $ℓ$ عندما يكون $x$ كبيراً بما فيه الكفاية.

نهاية لا منتهية

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ تعني أن $f (x)$ تصبح كبيرة بشكل تعسفي عندما يكون $x$ كبيراً بما فيه الكفاية.

II. النهايات المعتادة التي يجب حفظها

الدالة	النهاية في $+ \infty$	النهاية في $- \infty$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$+ \infty$	$+ \infty$ إذا كان $n$ زوجياً، $- \infty$ إذا كان $n$ فردياً
$\frac{1}{x ^{n}}$	$0$	$0$
$x$	$+ \infty$	غير معرفة

النهاية في نقطة (نهاية منتهية)

$x \to a lim f (x) = ℓ$ : عندما يقترب $x$ من $a$ ، تقترب $f (x)$ من $ℓ$ .

إذا كانت $f$ متصلة في $a$ (الحالة الأكثر شيوعاً)، فإن $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

النهاية في نقطة (نهاية لا منتهية)

$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ و $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$ .

III. العمليات على النهايات

لتكن $x \to a lim f = L$ و $x \to a lim g = L^{'}$ .

الجمع: $lim (f + g) = L + L^{'}$ (ما عدا الشكل $+ \infty - \infty$ )
الضرب: $lim (f g) = L \cdot L^{'}$ (ما عدا الشكل $0 \times \infty$ )
القسمة: $lim \frac{f}{g} = \frac{L}{L ^{'}}$ (ما عدا $L^{'} = 0$ أو الشكل $\frac{\infty}{\infty}$ )

IV. الأشكال غير المحددة الأربعة (FI)

$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$
$0 \times \infty$

في هذه الحالات الأربع، يجب "رفع عدم التحديد".

V. طريقة رفع الشكل غير المحدد

حالة $\frac{\infty}{\infty}$ (في $\pm \infty$ ، كسر من كثيرات الحدود)

نضع في عامل مشترك في البسط والمقام الحد المهيمن.

مثال: $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 2 x - 1}{x ^{2} - 5} = lim \frac{x ^{2} ( 3 + 2/ x - 1/ x ^{2} )}{x ^{2} ( 1 - 5/ x ^{2} )} = 3$ .

حالة $\frac{0}{0}$ (في نقطة $a$ )

نضع في عامل مشترك في البسط والمقام $(x - a)$ .

مثال: $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = lim (x + 2) = 4$ .

حالة $\infty - \infty$

نضع في عامل مشترك الحد المهيمن أو نضرب في الكمية المرافقة (إذا كانت هناك جذور).

مثال: $x \to + \infty lim (x + 1 - x) = lim \frac{1}{x + 1 + x} = 0$ .

VI. المقاربات

مقارب أفقي

إذا كان $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (منتهية)، فإن $C_{f}$ يقبل مقارباً أفقياً معادلته $y = ℓ$ في $\pm \infty$ .

مقارب عمودي

إذا كان $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ ، فإن $C_{f}$ يقبل مقارباً عمودياً معادلته $x = a$ .

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: لتكن $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4}$ . ادرس نهاياتها عند حدود مجالها وحدد المقاربات.

الحل:

المجال: $D_{f} = R ∖ {- 2, 2}$ .

النهايات في $\pm \infty$ : $x \to \pm \infty lim f (x) = lim \frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} = 2$ . إذن مقارب أفقي $y = 2$ .

النهايات في $\pm 2$ : المقام يميل نحو 0 والبسط نحو $2 \times 4 + 1 = 9 \neq = 0$ .
ندرس إشارة $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
$x \to 2^{+} lim f (x) = + \infty$ ، $x \to 2^{-} lim f (x) = - \infty$ ← مقارب عمودي $x = 2$ .
نفس الشيء في $- 2$ ← مقارب عمودي $x = - 2$ .

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

كتابة $\frac{0}{0} = 0$ أو $\frac{\infty}{\infty} = 1$ . هذه أشكال غير محددة، يجب رفعها إلزامياً.
نسيان النهايات من اليسار / من اليمين في نقطة حيث $f$ غير معرفة.
وضع عامل مشترك في البسط فقط في $\frac{\infty}{\infty}$ . يجب وضع عامل مشترك في الاثنين.
الخلط بين المقارب الأفقي والعمودي. أفقي = نهاية منتهية في $\infty$ . عمودي = نهاية لا منتهية في نقطة منتهية.
نسيان إشارة المقام في نهاية "0+" مقابل "0-". الإشارة تحدد $+ \infty$ أو $- \infty$ .

📈 Figure clé

Asymptotes de

\frac{1}{x}

🔑 Formules clés à retenir

النهايات المعتادة:

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \geq 1$ )
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$

الأشكال غير المحددة الأربعة: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty$

الطريقة القياسية:

$\frac{\infty}{\infty}$ (كثيرات حدود) ← وضع عامل مشترك الحد المهيمن
$\frac{0}{0}$ (في $a$ ) ← وضع عامل مشترك $(x - a)$
$\infty - \infty$ مع جذور ← الكمية المرافقة

المقاربات:

$y = ℓ$ إذا كان $lim f = ℓ$ في $\pm \infty$
$x = a$ إذا كان $lim f = \pm \infty$ في $a$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 في $\pm \infty$ ، يتصرف كثير الحدود مثل حده ذي الدرجة الأعلى. الكسر النسبي مثل نسبة الحدود المهيمنة.
🎯 عندما ترى $\frac{0}{0}$ وهناك جذر، فكر بشكل منهجي في الكمية المرافقة.
🎯 للنهايات في نقطة $a$ حيث يصبح المقام صفراً: ادرس إشارة المقام بالقرب من $a$ للتحديد بين $+ \infty$ و $- \infty$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — نهايات الدوال

النوع 1: حساب نهاية بالتعويض المباشر

متى؟ الدالة كثيرة حدود، أو دالة حيث تعويض $x$ بالقيمة لا يعطي شكلاً ممنوعاً ( $\frac{0}{0}$ ، $\frac{\infty}{\infty}$ ، إلخ).

عوّض مباشرة $x$ بالقيمة $a$ المستهدفة في العبارة.
أنجز الحساب.
تحقق من أنك لا تحصل على شكل غير معيّن (FI). إذا كان الأمر كذلك، غيّر الطريقة.
استنتج: $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

مثال سريع: $x \to 2 lim (x^{2} - 3 x + 1) = 4 - 6 + 1 = - 1$ .

النوع 2: النهايات المعتادة في $+ \infty$ و $- \infty$

متى؟ يُطلب نهاية دالة مرجعية (قوة، جذر، مقلوب) في اللانهاية.

حدد الدالة المرجعية: $x^{n}$ ، $x$ ، $\frac{1}{x}$ ، $\frac{1}{x ^{n}}$ .
طبّق نتيجة الدرس: $x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ و $x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$ .
في $- \infty$ ، راقب زوجية $n$ : $x \to - \infty lim x^{2} = + \infty$ لكن $x \to - \infty lim x^{3} = - \infty$ .

مثال سريع: $x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{2}} = 0$ و $x \to - \infty lim x^{3} = - \infty$ .

النوع 3: نهاية كثيرة حدود أو كسر نسبي في اللانهاية

متى؟ في $+ \infty$ أو $- \infty$ ، والتعويض يعطي $\infty - \infty$ أو $\frac{\infty}{\infty}$ .

بالنسبة لكثيرة حدود: أخرج الحد ذا الدرجة الأعلى كعامل مشترك (القاعدة: نهاية كثيرة حدود في اللانهاية = نهاية حدها ذي الدرجة الأعلى).
بالنسبة لكسر نسبي: النهاية = نهاية خارج قسمة الحدين ذوي الدرجة الأعلى في البسط والمقام.
بسّط ثم احسب النهاية المحصل عليها.

مثال سريع: $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 3} = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} = 2$ .

النوع 4: رفع شكل غير معيّن $\frac{0}{0}$ بالتحليل إلى جداء

متى؟ $x \to a$ (قيمة منتهية) والبسط والمقام ينعدمان معاً في $a$ .

بما أن $a$ تُلغي البسط والمقام، فإن $(x - a)$ عامل مشترك.
حلّل البسط والمقام بإخراج $(x - a)$ كعامل مشترك.
بسّط الكسر بحذف $(x - a)$ .
عوّض $x$ بـ $a$ في العبارة المبسطة.

مثال سريع: $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6$ .

النوع 5: نهاية تتدخل فيها الإشارة (نهاية على اليمين / على اليسار)

متى؟ $x \to a$ والمقام يؤول إلى $0$ دون أن ينعدم البسط: يجب دراسة الإشارة.

احسب نهاية البسط (عدد حقيقي غير منعدم) ونهاية المقام ( $\to 0$ ).
ادرس إشارة المقام على اليمين ( $x > a$ ) ثم على اليسار ( $x < a$ ).
استنتج إشارة الخارج: إذا كان المقام $\to 0^{+}$ ، فإن الخارج يؤول إلى $+ \infty$ أو $- \infty$ حسب إشارة البسط.
استنتج بشكل منفصل لـ $x \to a^{+} lim$ و $x \to a^{-} lim$ .

مثال سريع: $x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty$ لأن $x - 1 \to 0^{+}$ .

النوع 6: تحديد مستقيم مقارب عمودي

متى؟ الدالة غير معرفة في $x = a$ (غالباً مقام منعدم) ونبحث عن السلوك بجوار $a$ .

حدد القيمة الممنوعة $a$ (التي تُلغي المقام).
احسب $x \to a^{+} lim f (x)$ و $x \to a^{-} lim f (x)$ .
إذا كانت إحدى هاتين النهايتين تساوي $+ \infty$ أو $- \infty$ ، فإن المستقيم ذا المعادلة $x = a$ هو مستقيم مقارب عمودي.

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ ، لدينا $x \to 2^{+} lim f (x) = + \infty$ : المستقيم $x = 2$ مستقيم مقارب عمودي.

النوع 7: تحديد مستقيم مقارب أفقي

متى؟ ندرس سلوك $f$ في $+ \infty$ أو $- \infty$ والنهاية عدد حقيقي منته.

احسب $x \to + \infty lim f (x)$ (و/أو في $- \infty$ ).
إذا كان $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ (عدد حقيقي منته)، فإن المستقيم $y = ℓ$ هو مستقيم مقارب أفقي في $+ \infty$ .
أعد العمل في $- \infty$ إذا طُلب ذلك.

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ ، $x \to + \infty lim f (x) = 2$ : المستقيم $y = 2$ مستقيم مقارب أفقي.

Limites de fonctions — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

20 exercices

Limite en +∞ d'un quotient de polynômes

Facile

Énoncé

احسب

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 5 x + 1}{x ^{2} + 2}

Ma réponse

Limites de fonctions

Limites de fonctions — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. النهايات في +∞ و −∞

نهاية منتهية

تعريف

نهاية لا منتهية

II. النهايات المعتادة التي يجب حفظها

النهاية في نقطة (نهاية منتهية)

النهاية في نقطة (نهاية لا منتهية)

III. العمليات على النهايات

IV. الأشكال غير المحددة الأربعة (FI)

V. طريقة رفع الشكل غير المحدد

حالة ∞∞​ (في ±∞، كسر من كثيرات الحدود)

حالة 00​ (في نقطة a)

حالة ∞−∞

VI. المقاربات

مقارب أفقي

مقارب عمودي

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — نهايات الدوال

النوع 1: حساب نهاية بالتعويض المباشر

النوع 2: النهايات المعتادة في +∞ و −∞

النوع 3: نهاية كثيرة حدود أو كسر نسبي في اللانهاية

النوع 4: رفع شكل غير معيّن 00​ بالتحليل إلى جداء

النوع 5: نهاية تتدخل فيها الإشارة (نهاية على اليمين / على اليسار)

النوع 6: تحديد مستقيم مقارب عمودي

النوع 7: تحديد مستقيم مقارب أفقي

Limites de fonctions — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Limite en +∞ d'un quotient de polynômes

Limite à droite vs à gauche

Limite d'une fraction simple

Limite par règle des polynômes

Limite en un point fini

Limite polynomiale en l'infini

نهاية قوة سالبة

نهاية حدودية في اللانهاية (تكلفة الإنتاج)

نهاية دالة جذرية عند نقطة

نهاية دالة كسرية بالتحليل إلى جداء عوامل

نهاية دالة جذرية بسيطة في اللانهاية

نهاية دالة تآلفية عند نقطة

نهاية عند نقطة (بدون حالة عدم تعيين)

نهاية دالة كثيرة الحدود عند \(-\infty\)

نهاية دالة كسرية بدون شكل غير محدد

نهاية حدودية عند نقطة

نهاية دالة كثيرة الحدود عند \(+\infty\)

نهاية دالة الجذر التربيعي

نهاية على اليمين بمقام منعدم

نهاية حدودية في $+\infty$

Exercices Intermédiaires

Limite avec factorisation

Asymptote horizontale

Limite avec racine

Limite trigonométrique en 0

Forme indéterminée 0/0

Limite avec conjugué

Limite trigonométrique

Limite par encadrement

نهاية دالة كسرية عند \(+\infty\) (نفس الدرجة)

نهاية دالة تجانسية عند \(-\infty\)

صيغة غير محددة 0/0 (التعميل)

نهايات لانهائية ومقارب عمودي (كلفة متوسطة)

نهاية باستعمال الكمية المرافقة

صيغة غير محدَّدة 0/0 مع حدودية من الدرجة الثانية

نهاية دالة كسرية بتحليل مزدوج

نهاية دالة جذرية عند اللانهاية (درجتان مختلفتان)

نهاية عند \(+\infty\) بالتبسيط

النهايتان اليمنى واليسرى - المستقيم المقارب العمودي

صيغة غير محددة $\dfrac{0}{0}$ بالتعميل

صيغة غير محددة $\dfrac{\infty}{\infty}$

تحديد مقارب أفقي