I. النهايات في $+\infty$ و $-\infty$

نهاية منتهية

نهاية لا منتهية

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ تعني أن $f(x)$ تصبح كبيرة بشكل تعسفي عندما يكون $x$ كبيراً بما فيه الكفاية.

II. النهايات المعتادة التي يجب حفظها

النهاية في نقطة (نهاية منتهية)

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\ell$ : عندما يقترب $x$ من $a$، تقترب $f(x)$ من $\ell$.

إذا كانت $f$ متصلة في $a$ (الحالة الأكثر شيوعاً)، فإن $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$.

النهاية في نقطة (نهاية لا منتهية)

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$ و $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$.

III. العمليات على النهايات

لتكن $\underset{x\to a}{\lim }f=L$ و $\underset{x\to a}{\lim }g=L^{\prime }$.

• الجمع: $\lim (f+g)=L+L^{\prime }$ (ما عدا الشكل $+\infty -\infty$)
• الضرب: $\lim (fg)=L\cdot L^{\prime }$ (ما عدا الشكل $0\times \infty$)
• القسمة: $\lim \frac{f}{g}=\frac{L}{L^{\prime }}$ (ما عدا $L^{\prime }=0$ أو الشكل $\frac{\infty }{\infty }$)

IV. الأشكال غير المحددة الأربعة (FI)

1. $\frac{0}{0}$
2. $\frac{\infty }{\infty }$
3. $\infty -\infty$
4. $0\times \infty$

في هذه الحالات الأربع، يجب "رفع عدم التحديد".

V. طريقة رفع الشكل غير المحدد

حالة $\frac{\infty }{\infty }$ (في $\pm \infty$، كسر من كثيرات الحدود)

نضع في عامل مشترك في البسط والمقام الحد المهيمن.

مثال: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+2x-1}{x^2-5}=\lim \frac{x^2(3+2/x-1/x^2)}{x^2(1-5/x^2)}=3$.

حالة $\frac{0}{0}$ (في نقطة $a$)

نضع في عامل مشترك في البسط والمقام $(x-a)$.

مثال: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\lim \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim (x+2)=4$.

حالة $\infty -\infty$

نضع في عامل مشترك الحد المهيمن أو نضرب في الكمية المرافقة (إذا كانت هناك جذور).

مثال: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=\lim \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=0$.

VI. المقاربات

مقارب أفقي

إذا كان $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\ell$ (منتهية)، فإن $C_f$ يقبل مقارباً أفقياً معادلته $y=\ell$ في $\pm \infty$.

مقارب عمودي

إذا كان $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty$، فإن $C_f$ يقبل مقارباً عمودياً معادلته $x=a$.

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: لتكن $f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2-4}$. ادرس نهاياتها عند حدود مجالها وحدد المقاربات.

الحل:

المجال: $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

النهايات في $\pm \infty$: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\lim \frac{2x^2}{x^2}=2$. إذن مقارب أفقي $y=2$.

النهايات في $\pm 2$: المقام يميل نحو 0 والبسط نحو $2\times 4+1=9\ne 0$.
ندرس إشارة $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$، $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$ ← مقارب عمودي $x=2$.
نفس الشيء في $-2$ ← مقارب عمودي $x=-2$.

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

1. كتابة $\frac{0}{0}=0$ أو $\frac{\infty }{\infty }=1$. هذه أشكال غير محددة، يجب رفعها إلزامياً.
2. نسيان النهايات من اليسار / من اليمين في نقطة حيث $f$ غير معرفة.
3. وضع عامل مشترك في البسط فقط في $\frac{\infty }{\infty }$. يجب وضع عامل مشترك في الاثنين.
4. الخلط بين المقارب الأفقي والعمودي. أفقي = نهاية منتهية في $\infty$. عمودي = نهاية لا منتهية في نقطة منتهية.
5. نسيان إشارة المقام في نهاية "0+" مقابل "0-". الإشارة تحدد $+\infty$ أو $-\infty$.