Mathématiques financières — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: الرياضيات المالية هي التطبيق المباشر للرياضيات على البنوك والادخار والائتمان (الفوائد، الخصم، الأقساط، الاستهلاك).

الرياضيات المالية

تطبق الرياضيات المالية النسب المئوية والتناسب والمتتاليات على حالات واقعية: المشتريات، المبيعات، القروض، استثمار الأموال. يشكل هذا الفصل أساساً ضرورياً لشعبة العلوم الاقتصادية.

1. النسب المئوية والتغيرات

النسبة المئوية. تطبيق نسبة مئوية $t %$ على كمية $V$ يعني ضرب $V$ في $\frac{t}{100}$ . وبالتالي فإن $t %$ من $V$ تساوي $V \times \frac{t}{100}$ .

معدل التطور

عندما تنتقل قيمة من قيمة أولية $V_{0}$ إلى قيمة نهائية $V_{1}$ ، فإن معدل التطور (أو معدل التغير) يقيس التغير النسبي.

معدل التطور: $t = \frac{V _{1} - V _{0}}{V _{0}} \times 100$ (بالنسبة المئوية).

إذا كان $t > 0$ : فهي زيادة. إذا كان $t < 0$ : فهي انخفاض.

المعامل الضربي

بدلاً من جمع أو طرح نسبة مئوية، نضرب في معامل ضربي (CM).

زيادة بنسبة t % : C M = 1 + \frac{t}{100} انخفاض بنسبة t % : C M = 1 - \frac{t}{100}

تُحسب القيمة النهائية مباشرة: $V_{1} = V_{0} \times C M$ .

التطورات المتتالية

لربط عدة تطورات، نضرب المعاملات (لا نجمعها أبداً).

C M_{الإجمالي} = C M_{1} \times C M_{2} \times \dots \times C M_{n}

2. الفوائد البسيطة

الفائدة البسيطة. رأس مال $C$ موضوع بمعدل سنوي $t %$ ينتج فائدة تُحسب دائماً على رأس المال الأولي. لا تُضاف الفائدة أبداً إلى رأس المال أثناء الاستثمار.

لمدة $n$ سنة: $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ .

لمدة $m$ شهر: $I = \frac{C \times t \times m}{1200}$ .

لمدة $j$ يوم (سنة تجارية من 360 يوماً): $I = \frac{C \times t \times j}{36000}$ .

3. القيمة المكتسبة بالفوائد البسيطة

القيمة المكتسبة. هي المبلغ المتوفر في نهاية الاستثمار: رأس المال الأولي مضافاً إليه الفوائد.

A = C + I = C (1 + \frac{t \times n}{100})

4. الخصم التجاري البسيط

الخصم التجاري. عندما يمتلك تاجر ورقة تجارية (كمبيالة) بقيمة اسمية $V$ مستحقة الدفع لاحقاً، يمكنه تقديمها للبنك قبل الاستحقاق للحصول على المال فوراً. يحتفظ البنك بـ خصم $e$ ، يُحسب كفائدة بسيطة على القيمة الاسمية.

الخصم: $e = \frac{V \times t \times j}{36000}$ (المدة $j$ بالأيام، المعدل السنوي $t %$ ).

القيمة الحالية (أو القيمة المخصومة): $a = V - e$ .

5. المعدل المتوسط للاستثمار

المعدل المتوسط. عندما تُستثمر عدة رؤوس أموال بمعدلات مختلفة، فإن المعدل المتوسط $t_{m}$ هو المعدل الوحيد الذي، إذا طُبق على المجموع، سيعطي نفس الفائدة الإجمالية.

t_{m} = \frac{C _{1} t _{1} + C _{2} t _{2} + \dots + C _{n} t _{n}}{C _{1} + C _{2} + \dots + C _{n}}

المعدل المتوسط هو إذن متوسط مرجح للمعدلات حسب رؤوس الأموال.

6. مقدمة في الفوائد المركبة

الفوائد المركبة. في نهاية كل فترة، تُضاف الفائدة إلى رأس المال: نقول إنها مرسملة. في الفترة التالية، تُحسب الفوائد على رأس المال الجديد الأكبر. نتحدث عن «فوائد تنتج فوائد».

القيمة المكتسبة بعد $n$ فترة بمعدل $t %$ لكل فترة:

A_{n} = C_{0} (1 + \frac{t}{100})^{n}

متتالية رؤوس الأموال $(C_{n})$ هي متتالية هندسية أساسها $q = 1 + \frac{t}{100}$ .

أمثلة محلولة

مثال 1 — تطورات متتالية

سعر سلعة $200$ درهم. يرتفع سعرها بنسبة $10%$ ، ثم ينخفض بنسبة $5%$ . ما هو السعر النهائي؟

الحل. المعاملات: زيادة $C M_{1} = 1 + \frac{10}{100} = 1, 10$ ؛ انخفاض $C M_{2} = 1 - \frac{5}{100} = 0, 95$ .

المعامل الإجمالي: $C M = 1, 10 \times 0, 95 = 1, 045$ . السعر النهائي: $200 \times 1, 045 = 209$ درهم.

معدل التطور الإجمالي هو $+ 4, 5%$ (وليس $+ 5%$ ).

مثال 2 — القيمة المكتسبة بالفوائد البسيطة

نستثمر $C = 8000$ درهم بمعدل سنوي $t = 6%$ لمدة $9$ أشهر. احسب الفائدة والقيمة المكتسبة.

الحل. الفائدة: $I = \frac{8000 \times 6 \times 9}{1200} = \frac{432000}{1200} = 360$ درهم.

القيمة المكتسبة: $A = C + I = 8000 + 360 = 8360$ درهم.

🔑 Formules clés à retenir

$t % من V = V \times \frac{t}{100}$ — تطبيق نسبة مئوية على كمية
$t = \frac{V _{1} - V _{0}}{V _{0}} \times 100$ — معدل التطور بالنسبة المئوية بين $V_{0}$ و $V_{1}$
$C M = 1 + \frac{t}{100}$ — المعامل الضربي لزيادة بنسبة $t %$
$C M = 1 - \frac{t}{100}$ — المعامل الضربي لانخفاض بنسبة $t %$
$V_{1} = V_{0} \times C M$ — القيمة النهائية انطلاقاً من المعامل الضربي
$C M_{الإجمالي} = C M_{1} \times C M_{2} \times \dots \times C M_{n}$ — تطورات متتالية (نضرب)
$I = \frac{C \times t \times n}{100}$ — فائدة بسيطة على $n$ سنة
$I = \frac{C \times t \times m}{1200}$ — فائدة بسيطة على $m$ شهر
$I = \frac{C \times t \times j}{36000}$ — فائدة بسيطة على $j$ يوم (سنة من 360 يوماً)
$A = C + I = C (1 + \frac{t \times n}{100})$ — القيمة المكتسبة بالفوائد البسيطة
$e = \frac{V \times t \times j}{36000}$ — الخصم التجاري البسيط
$a = V - e$ — القيمة الحالية (المخصومة) لورقة تجارية
$t_{m} = \frac{C _{1} t _{1} + C _{2} t _{2} + \dots + C _{n} t _{n}}{C _{1} + C _{2} + \dots + C _{n}}$ — المعدل المتوسط (متوسط مرجح)
$A_{n} = C_{0} (1 + \frac{t}{100})^{n}$ — القيمة المكتسبة بالفوائد المركبة بعد $n$ فترة
$q = 1 + \frac{t}{100}$ — أساس المتتالية الهندسية لرؤوس الأموال (فوائد مركبة)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

بالنسبة للتطورات المتتالية، لا تجمع أبداً النسب المئوية. زيادة بنسبة $10%$ متبوعة بانخفاض بنسبة $10%$ لا تعيد إلى السعر الأصلي: $1, 10 \times 0, 90 = 0, 99$ ، أي انخفاض إجمالي بنسبة $1%$ .

✅

اعمل دائماً بالمعاملات الضربية: زيادة بنسبة $t %$ تعطي $1 + \frac{t}{100}$ ، انخفاض يعطي $1 - \frac{t}{100}$ . يكفي بعد ذلك ضربها ببعضها.

❌

الخلط بين معدل التطور والمعامل الضربي. إذا كان $C M = 1, 25$ ، فالتطور هو $+ 25%$ ، وليس $+ 125%$ . نقرأ التطور من الجزء بعد الفاصلة (بالنسبة المئوية).

✅

لإيجاد المعدل انطلاقاً من معامل: $t = (C M - 1) \times 100$ . مثال: $C M = 0, 92 \Rightarrow t = - 8%$ (انخفاض بنسبة $8%$ ).

❌

خطأ في المقام في الفوائد البسيطة: نقسم على $100$ للسنوات، على $1200$ للأشهر، على $36000$ للأيام. خلط الوحدات يفسد كل الحساب.

✅

حيلة للذاكرة: $1200 = 100 \times 12$ (أشهر) و $36000 = 100 \times 360$ (أيام). في المالية التجارية، السنة تحتوي على $360$ يوماً، وليس $365$ .

❌

المعدل المتوسط ليس المتوسط البسيط للمعدلات. إذا كانت رؤوس الأموال مختلفة، يجب ترجيح كل معدل برأس ماله.

✅

تحقق من معدلك المتوسط: يجب أن يكون دائماً بين أصغر وأكبر المعدلات المستخدمة. إذا خرج من هذا المجال، فهناك خطأ.

❌

الخلط بين الفوائد البسيطة والمركبة. في البسيطة، تُحسب الفائدة دائماً على رأس المال الأولي. في المركبة، تُحسب على رأس المال مضافاً إليه الفوائد السابقة (أي أكبر).

✅

بالنسبة للفوائد المركبة، فكر في «متتالية هندسية»: كل سنة نضرب في $q = 1 + \frac{t}{100}$ . القيمة المكتسبة هي $C_{0} \times q^{n}$ .

✅

في مسألة خصم، القيمة الاسمية $V$ هي ما سنحصل عليه عند الاستحقاق؛ القيمة الحالية $a = V - e$ هي ما نحصل عليه اليوم. نحصل إذن دائماً على أقل من القيمة الاسمية.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الرياضيات المالية

النوع 1: حساب نسبة مئوية ونسبة تطور

متى؟ عندما يُطلب جزء أو زيادة أو تخفيض معبر عنه بـ $%$ .

لحساب $t %$ من كمية $C$ : احسب $C \times \frac{t}{100}$ .
زيادة بنسبة $t %$ : اضرب في المعامل $(1 + \frac{t}{100})$ .
نقصان بنسبة $t %$ : اضرب في $(1 - \frac{t}{100})$ .
معدل التطور: $t = \frac{V _{finale} - V _{initiale}}{V _{initiale}} \times 100$ .

مثال سريع: ثمن قدره $200$ درهم يزداد بنسبة $15%$ : $200 \times 1, 15 = 230$ درهم.

النوع 2: حساب فائدة بسيطة

متى؟ عندما يُوضع رأس مال بفائدة بسيطة (الفائدة لا تُضاف إلى رأس المال).

حدد رأس المال $C$ ، المعدل السنوي $t %$ والمدة $n$ (بالسنوات).
طبق: $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ .
إذا كانت المدة بالأشهر: استبدل بـ $\frac{C \times t \times n}{1200}$ ؛ بالأيام: $\frac{C \times t \times n}{36000}$ .

مثال سريع: $C = 5000$ درهم، $t = 6%$ ، $n = 2$ سنة: $I = \frac{5000 \times 6 \times 2}{100} = 600$ درهم.

النوع 3: حساب القيمة المكتسبة بفائدة بسيطة

متى؟ عندما يُطلب المبلغ الإجمالي (رأس المال + الفوائد) بعد التوظيف بفائدة بسيطة.

احسب أولاً الفائدة $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ .
أضف الفائدة إلى رأس المال: القيمة المكتسبة $A = C + I$ .
أو مباشرة: $A = C (1 + \frac{t \times n}{100})$ .

مثال سريع: $C = 5000$ درهم، $I = 600$ درهم: $A = 5000 + 600 = 5600$ درهم.

النوع 4: حساب القيمة المكتسبة بفوائد مركبة

متى؟ التوظيف بفوائد مركبة: كل فترة، تُضاف الفائدة إلى رأس المال (رسملة).

حدد $C_{0}$ (رأس المال الأولي)، $t %$ (المعدل لكل فترة) و $n$ (عدد الفترات).
طبق صيغة الرسملة: $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{t}{100})^{n}$ .
احسب الأس ثم اضرب.

مثال سريع: $C_{0} = 1000$ درهم، $t = 5%$ ، $n = 3$ : $C_{3} = 1000 \times (1, 05)^{3} \approx 1157, 63$ درهم.

النوع 5: حساب القيمة الحالية (التحيين)

متى؟ نعرف مبلغاً مستقبلياً ونبحث عن قيمته اليوم (فوائد مركبة).

انطلق من $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{t}{100})^{n}$ .
اعزل $C_{0}$ : $C_{0} = \frac{C _{n}}{( 1 + \frac{t}{100} ) ^{n}} = C_{n} (1 + \frac{t}{100})^{- n}$ .
احسب القيمة الحالية.

مثال سريع: $C_{n} = 1157, 63$ درهم، $t = 5%$ ، $n = 3$ : $C_{0} = \frac{1157 , 63}{( 1 , 05 ) ^{3}} \approx 1000$ درهم.

النوع 6: حساب الخصم التجاري

متى؟ يتم التفاوض على ورقة تجارية بقيمة اسمية $V$ قبل استحقاقها.

حدد القيمة الاسمية $V$ ، معدل الخصم $t %$ والمدة $n$ حتى الاستحقاق.
احسب الخصم (الفائدة المحتجزة): $e = \frac{V \times t \times n}{36000}$ (المدة $n$ بالأيام).
احسب القيمة الحالية التجارية: $a = V - e$ .

مثال سريع: $V = 10000$ درهم، $t = 12%$ ، $n = 90$ يوماً: $e = \frac{10000 \times 12 \times 90}{36000} = 300$ درهم، إذن $a = 9700$ درهم.

النوع 7: إيجاد مجهول (معدل، مدة أو رأس مال)

متى؟ نعرف الفائدة (أو القيمة المكتسبة) وينقص المعدل أو المدة أو رأس المال.

اكتب الصيغة المناسبة ( $I = \frac{C \times t \times n}{100}$ أو الصيغة المركبة).
عوض القيم المعروفة.
اعزل المجهول بالعمليات العكسية.
احسب واستنتج (دون نسيان الوحدة: $%$ ، سنوات، درهم).

مثال سريع: $I = 600$ ، $C = 5000$ ، $n = 2$ : $t = \frac{100 \times I}{C \times n} = \frac{100 \times 600}{5000 \times 2} = 6%$ .

Mathématiques financières — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

10 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 10 corrigés

Exercices Faciles

4 exercices

Calcul d'un pourcentage

Facile

Corrigé

Énoncé

في قسم يضم

40

تلميذا،

35%

منهم فتيات. كم عدد الفتيات؟

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Taux d'évolution

Facile

Corrigé

Énoncé

انتقل سعر منتج من

250

درهم إلى

300

درهم. احسب معدل التطور.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Coefficient multiplicateur

Facile

Corrigé

Énoncé

راتب قدره

6000

درهم يزداد بنسبة

4%

. احسب الراتب الجديد باستخدام المعامل المضاعف.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Intérêt simple sur plusieurs mois

Facile

Corrigé

Énoncé

نضع

C = 12000

DH بمعدل سنوي

t = 5%

لمدة

8

أشهر. احسب الفائدة البسيطة.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

6 exercices

Intérêts composés

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

رأس مال قدره

5000

درهم موضوع بفائدة مركبة بمعدل سنوي

10%

لمدة

3

سنوات. احسب القيمة المكتسبة

A_{3}

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Évolutions successives

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

سعر هاتف يرتفع بنسبة

15%

، ثم ينخفض بنسبة

20%

. حدد المعامل الإجمالي ومعدل التطور الإجمالي.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Valeur acquise à intérêts simples

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

تم وضع رأس مال قدره

15000

درهم بمعدل فائدة

4, 5%

سنوياً لمدة

2

سنة بفائدة بسيطة. احسب القيمة المكتسبة

A

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Retrouver la durée

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

رأس مال قدره

20000

درهم وُضع بمعدل

6%

سنوياً أنتج فائدة بسيطة قدرها

900

درهم. لكم شهراً تم وضعه؟

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Escompte commercial

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

ورقة تجارية قيمتها الاسمية

V = 18000

درهم تم خصمها قبل

60

يوماً من تاريخ الاستحقاق بمعدل

9%

. احسب الخصم

e

والقيمة الحالية

a

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Taux moyen de placement

Intermédiaire

Corrigé

Énoncé

نضع

C_{1} = 10000

DH بمعدل

5%

C_{2} = 30000

DH بمعدل

7%

. احسب المعدل المتوسط

t_{m}

لهذين الاستثمارين.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Mathématiques financières

Mathématiques financières — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الرياضيات المالية

1. النسب المئوية والتغيرات

معدل التطور

المعامل الضربي

التطورات المتتالية

2. الفوائد البسيطة

3. القيمة المكتسبة بالفوائد البسيطة

4. الخصم التجاري البسيط

5. المعدل المتوسط للاستثمار

6. مقدمة في الفوائد المركبة

أمثلة محلولة

مثال 1 — تطورات متتالية

مثال 2 — القيمة المكتسبة بالفوائد البسيطة

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الرياضيات المالية

النوع 1: حساب نسبة مئوية ونسبة تطور

النوع 2: حساب فائدة بسيطة

النوع 3: حساب القيمة المكتسبة بفائدة بسيطة

النوع 4: حساب القيمة المكتسبة بفوائد مركبة

النوع 5: حساب القيمة الحالية (التحيين)

النوع 6: حساب الخصم التجاري

النوع 7: إيجاد مجهول (معدل، مدة أو رأس مال)

Mathématiques financières — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Calcul d'un pourcentage

Taux d'évolution

Coefficient multiplicateur

Intérêt simple sur plusieurs mois

Exercices Intermédiaires

Intérêts composés

Évolutions successives

Valeur acquise à intérêts simples

Retrouver la durée

Escompte commercial

Taux moyen de placement

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Mathématiques financières

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone