Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: الجداء السلمي هو أداة الحساب في الهندسة التحليلية المستخدمة في النماذج.

I. تعريف الجداء السلمي

3 تعابير متكافئة

ليكن $u$ و $v$ متجهين في المستوى.

الإحداثيات (في معلم متعامد ومتجانس): إذا كان $u (x, y)$ و $v (x^{'}, y^{'})$ ، فإن $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$
الزاوية: $u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot cos (u, v)$
المعيار: $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$

II. الخصائص الجبرية

التناظر: $u \cdot v = v \cdot u$
الخطية الثنائية: $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ و $(λ u) \cdot v = λ (u \cdot v)$
مربع المعيار: $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$

III. التعامد

مبرهنة

متجهان $u$ و $v$ غير منعدمين متعامدان إذا وفقط إذا $u \cdot v = 0$ .

هذا هو المعيار لإثبات وجود زاوية قائمة في الهندسة التحليلية.

IV. المتطابقات الشهيرة الشعاعية

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$
$∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$
$(u + v) \cdot (u - v) = ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}$

V. التطبيقات الهندسية

حساب زاوية

$cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥}$

إثبات أن مثلثا قائم الزاوية

المثلث $A B C$ قائم الزاوية في $A$ إذا وفقط إذا $A B \cdot A C = 0$ .

المعادلة الديكارتية لمستقيم

المستقيم $D$ المار من $A (x_{A}, y_{A})$ وله متجه ناظمي $n (a, b)$ : $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ ، أي $a x + b y + c = 0$ .

المسافة من نقطة إلى مستقيم

المسافة من $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ إلى $D : a x + b y + c = 0$ :

$d (M_{0}, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطيات: $A (1, 2)$ ، $B (4, - 1)$ ، $C (5, 3)$ في معلم متعامد ومتجانس.
1) احسب $A B \cdot A C$ .
2) هل المثلث $A B C$ قائم الزاوية في $A$ ؟
3) احسب الزاوية $B A C$ .

الحل:

$A B (3, - 3)$ ، $A C (4, 1)$ ، $∥ A B ∥ = 18 = 32$ ، $∥ A C ∥ = 17$ .

1) $A B \cdot A C = 3 \times 4 + (- 3) \times 1 = 12 - 3 = 9$ .

2) $A B \cdot A C = 9 \neq = 0$ . إذن $A B C$ ليس قائم الزاوية في $A$ .

3) $cos B A C = \frac{9}{3 2 \cdot 17} = \frac{9}{3 34} = \frac{3}{34}$ . إذن $B A C \approx 59°$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

الاعتقاد بأن $u \cdot v = u \times v$ . الجداء السلمي يعطي عددا، وليس متجها.
نسيان القيمة المطلقة في صيغة المسافة من نقطة إلى مستقيم.
الخلط بين المتجه الموجه والمتجه الناظمي لمستقيم.
نسيان sin/cos بالترتيب الصحيح. $u \cdot v$ يستخدم $cos$ (وليس $sin$ ).
نسيان التحقق من أن المتجهات غير منعدمة قبل القول "متعامدان إذا وفقط إذا كان الجداء السلمي = 0".

📈 Figure clé

Angle entre deux vecteurs

🔑 Formules clés à retenir

الجداء السلمي:

الإحداثيات: $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$
الزاوية: $u \cdot v = ∥ u ∥∥ v ∥ cos (u, v)$

التعامد: $u \cdot v = 0$

المتطابقات:

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$

المستقيم: المعادلة $a x + b y + c = 0$ ، المتجه الناظمي $(a, b)$

المسافة نقطة-مستقيم:

$d (M_{0}, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 لإثبات تعامد مستقيمين: أثبت أن جداء متجهيهما الموجهين يساوي صفرا.
🎯 المسافة نقطة-مستقيم: لا تنسَ القيمة المطلقة في البسط.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الجداء السلمي في المستوى

النوع 1: حساب جداء سلمي باستعمال الإحداثيات

متى؟ عندما تُعطى المتجهات بإحداثياتها في معلم متعامد ومتجانس.

اكتب الإحداثيات: $u (x; y)$ و $v (x^{'}; y^{'})$ .
طبّق الصيغة: $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .
أنجز الجداءات ثم المجموع.
أعط القيمة (عدد حقيقي، موجب أو سالب أو معدوم).
فسّر عند الحاجة (معدوم $\Rightarrow$ متعامدان).

مثال سريع: $u (3; - 1)$ و $v (2; 4)$ : $u \cdot v = 3 \times 2 + (- 1) \times 4 = 6 - 4 = 2$ .

النوع 2: حساب جداء سلمي باستعمال المعيار والزاوية

متى؟ عندما نعرف الأطوال والزاوية بين المتجهين.

حدّد المعيارين $∥ u ∥$ ، $∥ v ∥$ والزاوية $θ = (u, v)$ .
طبّق: $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos θ$ .
عوّض بقيمة $cos θ$ (قيمة شهيرة).
احسب الجداء.
استنتج.

مثال سريع: $∥ u ∥ = 2$ ، $∥ v ∥ = 3$ ، $θ = \frac{π}{3}$ : $u \cdot v = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$ .

النوع 3: الحساب باستعمال الإسقاط العمودي

متى؟ في وضعية هندسية حيث نعرف مسقطاً عمودياً.

حدّد المسقط العمودي $H$ لنهاية متجه على المستقيم الحامل للمتجه الآخر.
طبّق: $A B \cdot A C = A B \cdot A H$ .
حدّد الإشارة حسب ما إذا كان $A H$ و $A B$ لهما نفس الاتجاه أم لا.
احسب $A B \cdot A H = \pm A B \times A H$ .
استنتج.

مثال سريع: إذا كان $H \in (A B)$ هو مسقط $C$ و $A H = 2$ ، $A B = 5$ بنفس الاتجاه: $A B \cdot A C = 5 \times 2 = 10$ .

النوع 4: إثبات أن متجهين (أو مستقيمين) متعامدان

متى؟ عندما يُطلب إثبات تعامد أو زاوية قائمة.

حدّد إحداثيات المتجهين الموجهين.
احسب الجداء السلمي $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .
إذا كان $u \cdot v = 0$ : المتجهان متعامدان.
استنتج: المستقيمان المقابلان متعامدان (أو الزاوية قائمة).
إذا كان $\neq = 0$ : ليسا متعامدين.

مثال سريع: $u (2; 3)$ ، $v (- 3; 2)$ : $u \cdot v = - 6 + 6 = 0$ ، إذن $u ⊥ v$ .

النوع 5: حساب معيار أو مسافة

متى؟ عندما نبحث عن طول متجه أو المسافة بين نقطتين.

لمتجه $u (x; y)$ : $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$ .
لمسافة $A B$ : احسب أولاً $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .
ثم $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
احسب المربعات، اجمعها، خذ الجذر.
بسّط الجذر إن أمكن.

مثال سريع: $A (1; 2)$ ، $B (4; 6)$ : $A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

النوع 6: تحديد قيس زاوية

متى؟ عندما نريد الزاوية $θ$ بين متجهين (أو زاوية في مثلث).

احسب $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ والمعيارين $∥ u ∥$ ، $∥ v ∥$ .
اعزل: $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \times ∥ v ∥}$ .
احسب هذه القيمة لـ $cos θ$ .
استنتج $θ$ (قيمة شهيرة أو آلة حاسبة).
استنتج قيس الزاوية.

مثال سريع: $u (1; 0)$ ، $v (1; 1)$ : $cos θ = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{2}{2}$ ، إذن $θ = \frac{π}{4}$ .

النوع 7: تحديد معادلة دائرة

متى؟ عندما نبحث عن معادلة الدائرة ذات القطر $[A B]$ ، أو ذات مركز ونصف قطر معطيين.

قطر $[A B]$ : نقطة $M$ على الدائرة إذا وفقط إذا $M A \cdot M B = 0$ .
عبّر عن هذا الجداء السلمي بـ $M (x; y)$ وانشر.
لدائرة مركزها $Ω (a; b)$ ونصف قطرها $r$ : اكتب $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
انشر ورتّب على الشكل $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$ إذا طُلب.
استنتج المعادلة.

مثال سريع: دائرة قطرها $[A B]$ حيث $A (0; 0)$ ، $B (2; 0)$ : $M A \cdot M B = 0$ تعطي $x (x - 2) + y^{2} = 0$ ، أي $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ .

النوع 8: تطبيق مبرهنة الخاشي

متى؟ في مثلث حيث نعرف ضلعين والزاوية بينهما (أو الأضلاع الثلاثة).

حدّد الزاوية $\hat{A}$ والضلعين المجاورين $b = A C$ ، $c = A B$ ، المقابل $a = B C$ .
طبّق: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos \hat{A}$ .
عوّض بالقيم المعروفة.
احسب الضلع المطلوب (أو اعزل $cos \hat{A}$ لإيجاد الزاوية).
استنتج.

مثال سريع: $b = 3$ ، $c = 4$ ، $\hat{A} = \frac{π}{3}$ : $a^{2} = 9 + 16 - 2 \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 13$ ، إذن $a = 13$ .

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

Exercices Faciles

6 exercices

Calcul de produit scalaire

Facile

Énoncé

ليكن

u (3, - 2)

v (1, 4)

في معلم متعامد ممنظم. احسب

u \cdot v

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Identité de polarisation

Facile

Énoncé

ليكن

A (1, 2)

B (4, 6)

. احسب

O A \cdot O B

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Test orthogonalité

Facile

Énoncé

هل المتجهان

u (3, - 2)

v (4, 6)

متعامدان؟

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Norme et coordonnées

Facile

Énoncé

احسب منظم المتجهة

u (5, - 12)

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Calcul du produit scalaire

Facile

Énoncé

ليكن

u (3, - 1)

v (2, 5)

في معلم متعامد ومتجانس. احسب

u \cdot v

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Orthogonalité

Facile

Énoncé

هل المتجهان

u (3, 4)

v (- 4, 3)

متعامدان؟

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

8 exercices

Projection orthogonale

Intermédiaire

Énoncé

ليكن

u (4, 2)

v (3, 0)

. احسب الإسقاط العمودي للمتجهة

u

على

v

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Cercle par 2 points et rayon donné

Intermédiaire

Énoncé

أعط معادلة الدائرة ذات القطر

[A B]

حيث

A (0, 0)

B (4, 6)

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation cartésienne d'un cercle

Intermédiaire

Énoncé

أوجد مركز ونصف قطر الدائرة ذات المعادلة

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation de droite par vecteur normal

Intermédiaire

Énoncé

أعط المعادلة الديكارتية للمستقيم المار من

A (2, 1)

وذي المتجهة العمودية

n (3, - 4)

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Triangle rectangle

Intermédiaire

Énoncé

ليكن

A (1, 1)

B (4, 2)

C (2, 5)

. هل المثلث

A B C

قائم الزاوية في

A

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Angle entre deux vecteurs

Intermédiaire

Énoncé

ليكن

u (1, 2)

v (3, - 1)

. احسب الزاوية

θ

بين

u

v

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation de cercle

Intermédiaire

Énoncé

أعط المعادلة الديكارتية للدائرة ذات المركز

Ω (2, - 3)

ونصف القطر

R = 5

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équation de droite (normal)

Intermédiaire

Énoncé

أعط معادلة ديكارتية للمستقيم المار من

A (2, 1)

والذي متجهته المنظمية

n (3, - 2)

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف الجداء السلمي

3 تعابير متكافئة

II. الخصائص الجبرية

III. التعامد

مبرهنة

IV. المتطابقات الشهيرة الشعاعية

V. التطبيقات الهندسية

حساب زاوية

إثبات أن مثلثا قائم الزاوية

المعادلة الديكارتية لمستقيم

المسافة من نقطة إلى مستقيم

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الجداء السلمي في المستوى

النوع 1: حساب جداء سلمي باستعمال الإحداثيات

النوع 2: حساب جداء سلمي باستعمال المعيار والزاوية

النوع 3: الحساب باستعمال الإسقاط العمودي

النوع 4: إثبات أن متجهين (أو مستقيمين) متعامدان

النوع 5: حساب معيار أو مسافة

النوع 6: تحديد قيس زاوية

النوع 7: تحديد معادلة دائرة

النوع 8: تطبيق مبرهنة الخاشي

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Calcul de produit scalaire

Identité de polarisation

Test orthogonalité

Norme et coordonnées

Calcul du produit scalaire

Orthogonalité

Exercices Intermédiaires

Projection orthogonale

Cercle par 2 points et rayon donné

Équation cartésienne d'un cercle

Équation de droite par vecteur normal

Triangle rectangle

Angle entre deux vecteurs

Équation de cercle

Équation de droite (normal)

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Produit scalaire dans le plan

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone