Statistique (séries à 2 variables) — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. السلسلة الإحصائية المزدوجة

تعريف

السلسلة الإحصائية المزدوجة هي مجموعة من $n$ ثنائيات $(x_{i}, y_{i})$ تمثل صفتين مقاستين على نفس المجتمع.

سحابة النقط

نمثل الثنائيات $(x_{i}, y_{i})$ في معلم متعامد ومتجانس. مجموع النقط يسمى سحابة النقط.

II. النقطة المتوسطة

النقطة المتوسطة $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ لسلسلة مزدوجة إحداثياتها هي:

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}, \overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n y_{i}$

III. التباين والانحراف المعياري

تباين $x$ : $V (x) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$
الانحراف المعياري لـ $x$ : $σ (x) = V (x)$
نفس الشيء بالنسبة لـ $V (y)$ و $σ (y)$ .

IV. التباين المشترك

تعريف

التباين المشترك للثنائية $(x, y)$ هو:

$Cov (x, y) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) (y_{i} - \overset{y}{ˉ}) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

V. التوفيق الخطي بطريقة المربعات الصغرى

مستقيم الانحدار لـ $y$ بدلالة $x$

أفضل مستقيم لتوفيق سحابة النقط هو $y = a x + b$ حيث:

$a = \frac{Cov ( x , y )}{V ( x )}, b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$

هذا المستقيم يمر دائماً من النقطة المتوسطة $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .

VI. معامل الارتباط الخطي

تعريف

$r = \frac{Cov ( x , y )}{σ ( x ) \cdot σ ( y )}$

خاصية: $- 1 \leq r \leq 1$ .

$r \approx 1$ : ارتباط قوي موجب (متزايد)
$r \approx - 1$ : ارتباط قوي سالب (متناقص)
$r \approx 0$ : لا يوجد ارتباط خطي (السحابة غير قابلة للاصطفاف)
عملياً، نعتبر أن هناك ارتباطاً خطياً جيداً إذا كان $∣ r ∣ > 0, 9$ .

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطيات: سجلنا نقط الرياضيات ( $x$ ) والفيزياء ( $y$ ) لـ 5 تلاميذ:

$x_{i}$	10	12	14	15	18
$y_{i}$	11	13	13	16	17

حدد مستقيم الانحدار لـ $y$ بدلالة $x$ .

الحل:

$\overset{x}{ˉ} = (10 + 12 + 14 + 15 + 18) /5 = 13, 8$ . $\overset{y}{ˉ} = (11 + 13 + 13 + 16 + 17) /5 = 14$ .

حساب $Cov (x, y)$ : $\frac{1}{5} (10 \cdot 11 + 12 \cdot 13 + 14 \cdot 13 + 15 \cdot 16 + 18 \cdot 17) - 13, 8 \cdot 14$
$= \frac{110 + 156 + 182 + 240 + 306}{5} - 193, 2 = 198, 8 - 193, 2 = 5, 6$

حساب $V (x) = \frac{1}{5} (100 + 144 + 196 + 225 + 324) - 13, 8^{2} = 197, 8 - 190, 44 = 7, 36$ .

$a = 5, 6/7, 36 \approx 0, 76$ .
$b = 14 - 0, 76 \times 13, 8 \approx 3, 5$ .
مستقيم الانحدار: $y \approx 0, 76 x + 3, 5$ .

VIII. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين التباين والانحراف المعياري. $σ = V$ .
القسمة على $n - 1$ بدلاً من $n$ . في الثانوي المغربي، نستعمل $n$ (التباين الخام).
نسيان التحقق من جودة التوفيق بواسطة $r$ قبل الاستنتاج.
الخلط بين $a$ (الميل) و $b$ (الإحداثي الأصلي) في الصيغة.

📈 Figure clé

Nuage de points et droite d'ajustement (régression)

🔑 Formules clés à retenir

المتوسطات : $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ ، $\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum y_{i}$

التباين : $V (x) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$

التباين المشترك : $Cov (x, y) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

مستقيم الانحدار : $y = a x + b$

$a = Cov (x, y) / V (x)$
$b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$
يمر من $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$

معامل الارتباط :

$r = Cov (x, y) / (σ (x) σ (y))$ ، حيث $∣ r ∣ \leq 1$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 احسب $\overset{x}{ˉ}$ و $\overset{y}{ˉ}$ أولاً. جميع الصيغ الأخرى تعتمد عليهما.
🎯 تحقق من نتيجتك: مستقيم الانحدار يجب أن يمر من $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .
🎯 إذا كان $∣ r ∣ < 0, 9$ ، فإن التوفيق الخطي غير موثوق. اذكر ذلك في استنتاجك.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الإحصاء (السلاسل ذات متغيرين)

النوع 1: تمثيل سحابة النقط

متى؟ عندما نتوفر على سلسلة مزدوجة $(x_{i}; y_{i})$ ونريد تصور العلاقة بين المتغيرين.

اختر معلماً وسلالم مناسبة لقيم $x$ و $y$ .
ضع كل ثنائي $(x_{i}; y_{i})$ كنقطة في المستوى.
لاحظ الشكل: سحابة ممتدة قريبة من مستقيم تقترح تعديلاً تآلفياً.

مثال سريع: بالنسبة للثنائيات $(1; 2)$ ، $(2; 3)$ ، $(3; 5)$ ، نضع ثلاث نقط متقاربة من الاستقامة: التعديل التآلفي ملائم.

النوع 2: حساب النقطة المتوسطة $G$

متى؟ عندما نريد النقطة المتوسطة للسحابة، التي تنتمي دائماً إلى مستقيم الانحدار.

احسب متوسط الفواصل $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}$ .
احسب متوسط التراتيب $\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n y_{i}$ .
النقطة المتوسطة هي $G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $x : 1, 2, 3$ و $y : 2, 3, 5$ : $\overset{x}{ˉ} = 2$ ، $\overset{y}{ˉ} = \frac{10}{3}$ ، إذن $G (2; \frac{10}{3})$ .

النوع 3: حساب التباين والانحراف المعياري

متى؟ عندما نحتاج إلى $V (x)$ ، $σ_{x}$ (وكذلك بالنسبة لـ $y$ ) قبل حساب الارتباط أو الانحدار.

التباين: $V (x) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ (الصيغة المفصلة، الأسرع).
الانحراف المعياري: $σ_{x} = V (x)$ .
كرر الحساب بالنسبة لـ $y$ للحصول على $V (y)$ و $σ_{y}$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $x : 1, 2, 3$ : $\frac{1 + 4 + 9}{3} - 2^{2} = \frac{14}{3} - 4 = \frac{2}{3}$ ، إذن $V (x) = \frac{2}{3}$ .

النوع 4: حساب التباين المشترك

متى؟ عندما نريد $Cov (x, y)$ ، الضروري لمعامل الارتباط ومستقيم الانحدار.

طبق الصيغة المفصلة: $Cov (x, y) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$ .
نظم الحساب في جدول (أعمدة $x_{i}$ ، $y_{i}$ ، $x_{i} y_{i}$ ) لتجنب الأخطاء.
تباين مشترك موجب يشير إلى علاقة متزايدة، وسالب إلى علاقة متناقصة.

مثال سريع: بالنسبة لـ $(1; 2), (2; 3), (3; 5)$ : $\frac{2 + 6 + 15}{3} - 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{23}{3} - \frac{20}{3} = 1$ .

النوع 5: حساب وتفسير معامل الارتباط

متى؟ عندما نريد قياس جودة التعديل التآلفي (قوة العلاقة الخطية).

طبق $r = \frac{Cov ( x , y )}{σ _{x} σ _{y}}$ .
تحقق من أن $- 1 \leq r \leq 1$ .
فسر: $∣ r ∣$ قريب من $1$ $\Rightarrow$ ارتباط قوي (التعديل التآلفي مبرر)؛ قريب من $0$ $\Rightarrow$ علاقة ضعيفة.

مثال سريع: إذا كان $Cov (x, y) = 1$ ، $σ_{x} σ_{y} \approx 1, 02$ ، فإن $r \approx 0, 98$ : ارتباط قوي جداً.

النوع 6: تحديد مستقيم انحدار $y$ بالنسبة لـ $x$

متى؟ عندما نريد معادلة مستقيم التعديل بطريقة المربعات الصغرى.

احسب الميل $a = \frac{Cov ( x , y )}{V ( x )}$ .
احسب الإحداثي عند الأصل $b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$ (المستقيم يمر من $G$ ).
اكتب المعادلة $y = a x + b$ .

مثال سريع: مع $Cov (x, y) = 1$ و $V (x) = \frac{2}{3}$ : $a = \frac{3}{2}$ ، $b = \frac{10}{3} - \frac{3}{2} \cdot 2 = \frac{1}{3}$ ، إذن $y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{3}$ .

النوع 7: إجراء توقع (تقدير) بواسطة المستقيم

متى؟ عندما نريد تقدير قيمة $y$ لـ $x$ معطى (أو العكس) بفضل التعديل.

تحقق أولاً من أن الارتباط قوي ( $∣ r ∣$ قريب من $1$ ) لكي يكون التوقع موثوقاً.
عوض قيمة $x$ في المعادلة $y = a x + b$ .
احسب التقدير وعبر عن النتيجة بوحدة المتغير المدروس.

مثال سريع: مع $y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{3}$ ، من أجل $x = 4$ : $y = 6 + \frac{1}{3} \approx 6, 33$ .

Statistique (séries à 2 variables) — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

6 exercices

Moyenne et variance

Facile

Énoncé

لدينا النقط التالية:

10, 12, 14, 16, 18

. احسب المتوسط والتباين.

Ma réponse

Statistique (séries à 2 variables)

Statistique (séries à 2 variables) — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. السلسلة الإحصائية المزدوجة

تعريف

سحابة النقط

II. النقطة المتوسطة

III. التباين والانحراف المعياري

IV. التباين المشترك

تعريف

V. التوفيق الخطي بطريقة المربعات الصغرى

مستقيم الانحدار لـ y بدلالة x

VI. معامل الارتباط الخطي

تعريف

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VIII. أهم 4 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الإحصاء (السلاسل ذات متغيرين)

النوع 1: تمثيل سحابة النقط

النوع 2: حساب النقطة المتوسطة G

النوع 3: حساب التباين والانحراف المعياري

النوع 4: حساب التباين المشترك

النوع 5: حساب وتفسير معامل الارتباط

النوع 6: تحديد مستقيم انحدار y بالنسبة لـ x

النوع 7: إجراء توقع (تقدير) بواسطة المستقيم

Statistique (séries à 2 variables) — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Moyenne et variance

Calcul de variance par formule directe

Mode et médiane

Calcul moyenne pondérée

Point moyen

Moyenne pondérée

Exercices Intermédiaires

Médiane et quartiles

Coefficient de corrélation

Covariance par formule directe

Coefficient de corrélation

Covariance

Coefficient de corrélation

Estimation par la droite de régression

Variance par formule de König

Exercices Difficiles

Ajustement linéaire (moindres carrés)

Droite de régression et prévision

Droite de régression

Effet d'un changement de variable

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Statistique (séries à 2 variables)

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

مستقيم الانحدار لـ $y$ بدلالة $x$

النوع 2: حساب النقطة المتوسطة $G$

النوع 6: تحديد مستقيم انحدار $y$ بالنسبة لـ $x$