Géométrie analytique de l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

I. Repère orthonormé de l'espace

$(O; i, j, k)$ avec les 3 vecteurs orthogonaux unitaires.

Un point $M$ a des coordonnées $(x, y, z)$ telles que $O M = x i + y j + z k$ .

II. Représentation paramétrique d'une droite

Définition

La droite $D$ passant par $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et dirigée par $u (a, b, c)$ a pour représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c, t \in R$

Comment trouver un vecteur directeur ?

Pour la droite $(A B)$ : $u = A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A})$ .

III. Position relative de deux droites

Soient $D$ dirigée par $u$ et $D^{'}$ dirigée par $u^{'}$ , passant par $A$ et $A^{'}$ .

Parallèles confondues : $u$ et $u^{'}$ colinéaires ET $A \in D^{'}$
Parallèles strictement : $u$ et $u^{'}$ colinéaires ET $A \in / D^{'}$
Sécantes (intersection) : $u$ et $u^{'}$ non colinéaires ET les droites se coupent en un point unique
Non coplanaires : $u$ et $u^{'}$ non colinéaires ET les droites ne se rencontrent jamais

IV. Équation cartésienne d'un plan

Définition

Un plan $P$ passant par $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ a pour équation cartésienne :

$a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$

soit $a x + b y + cz + d = 0$ avec $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ .

Astuce

Les coefficients $(a, b, c)$ de l'équation cartésienne sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan !

V. Position relative droite / plan

$u$ vecteur directeur de la droite, $n$ vecteur normal du plan.

Droite parallèle au plan : $u \cdot n = 0$ (et droite hors du plan)
Droite incluse dans le plan : $u \cdot n = 0$ ET un point de la droite appartient au plan
Droite sécante au plan : $u \cdot n \neq = 0$ → un seul point d'intersection
Droite perpendiculaire au plan : $u$ colinéaire à $n$

VI. Distance d'un point à un plan

Distance de $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ au plan $P : a x + b y + cz + d = 0$ :

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soient $A (1, 0, 2)$ , $B (2, 1, 0)$ , $C (0, 1, 1)$ .
1) Déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
2) Calculer la distance du point $D (3, - 1, 2)$ à ce plan.

Solution :

$A B (1, 1, - 2)$ , $A C (- 1, 1, - 1)$ .
Cherchons $n (a, b, c)$ orthogonal aux 2 : $a + b - 2 c = 0$ et $- a + b - c = 0$ .
En additionnant : $2 b - 3 c = 0$ , donc $b = 3 c /2$ . Pour $c = 2$ : $b = 3$ , et $a = 2 c - b = 4 - 3 = 1$ .
Donc $n (1, 3, 2)$ .
Équation : $1 (x - 1) + 3 (y - 0) + 2 (z - 2) = 0$ , soit $x + 3 y + 2 z - 5 = 0$ .

2) $d (D, (A B C)) = \frac{∣3 + 3 ( - 1 ) + 2 ( 2 ) - 5∣}{1 + 9 + 4} = \frac{∣ - 1∣}{14} = \frac{1}{14}$ .

VIII. Top 5 pièges à éviter

Confondre vecteur directeur (droite) et vecteur normal (plan).
Croire que 2 droites non parallèles sont sécantes. Dans l'espace, elles peuvent être non coplanaires.
Oublier le coefficient $d$ dans l'équation cartésienne.
Oublier la valeur absolue dans la formule de distance.
Mal calculer un vecteur normal au plan $(A B C)$ . Il doit être orthogonal à $A B$ ET $A C$ .

📈 Figure clé

Repère de l'espace

🔑 Formules clés à retenir

Droite (param.) : $⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c$

Plan (cartésien) : $a x + b y + cz + d = 0$

$(a, b, c)$ = coords d'un vecteur normal

Distance point-plan :

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Position relative : utiliser $u \cdot n$

$= 0$ : parallèle / incluse
$\neq = 0$ : sécante

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Équation cartésienne d'un plan passant par 3 points : trouver $n$ orthogonal à $A B$ et $A C$ (système 2×3).
🎯 Distance point-plan : exactement la même formule que distance point-droite, mais avec 3 variables.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Géométrie analytique de l'espace

Type 1 : Calculer coordonnées d'un vecteur, normes et milieu

Quand ? On dispose de points $A$ , $B$ par leurs coordonnées et on veut $A B$ , sa norme ou un milieu.

Coordonnées : $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .
Norme : $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Milieu $I$ de $[A B]$ : $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ .

Exemple éclair : $A (1; 0; 2)$ , $B (3; 4; 2)$ : $A B (2; 4; 0)$ , $∥ A B ∥ = 4 + 16 = 25$ .

Type 2 : Calculer un produit scalaire et tester l'orthogonalité

Quand ? On veut un produit scalaire, un angle, ou vérifier que deux vecteurs sont perpendiculaires.

Avec $u (x; y; z)$ et $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
Pour l'orthogonalité : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
Pour un angle : $cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ .

Exemple éclair : $u (1; 2; - 1)$ , $v (2; - 1; 0)$ : $u \cdot v = 2 - 2 + 0 = 0$ , donc $u ⊥ v$ .

Type 3 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Quand ? On connaît un point $A$ du plan et un vecteur normal $n (a; b; c)$ .

Le plan a une équation de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ , où $(a; b; c)$ sont les coordonnées de $n$ .
Détermine $d$ en remplaçant les coordonnées du point $A$ dans l'équation.
Écris l'équation finale du plan.

Exemple éclair : Plan passant par $A (1; 0; 2)$ de normal $n (2; 1; - 1)$ : $2 x + y - z + d = 0$ avec $2 - 2 + d = 0$ , donc $d = 0$ et l'équation est $2 x + y - z = 0$ .

Type 4 : Trouver une représentation paramétrique de droite

Quand ? On connaît un point $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ et un vecteur directeur $u (α; β; γ)$ .

Un point $M (x; y; z)$ appartient à la droite ssi $A M = t u$ pour un réel $t$ .
Écris le système : $x = x_{0} + t α$ , $y = y_{0} + tβ$ , $z = z_{0} + t γ$ , avec $t \in R$ .
Si la droite est définie par deux points $A$ et $B$ , prends $u = A B$ .

Exemple éclair : Droite par $A (1; 2; 0)$ de direction $u (1; 0; 3)$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 z = 3 t$ , $t \in R$ .

Type 5 : Étudier la position relative droite / plan ou plan / plan

Quand ? On veut savoir si une droite est parallèle, sécante, ou incluse dans un plan (ou comparer deux plans).

Repère le vecteur directeur $u$ de la droite et le vecteur normal $n$ du plan.
Si $u \cdot n = 0$ : la droite est parallèle au plan (ou incluse) ; teste si un point de la droite vérifie l'équation du plan pour trancher.
Si $u \cdot n \neq = 0$ : la droite est sécante ; trouve le point d'intersection en remplaçant la représentation paramétrique dans l'équation du plan.

Exemple éclair : Droite de direction $u (1; 0; 3)$ et plan de normal $n (2; 1; - 1)$ : $u \cdot n = 2 - 3 = - 1 \neq = 0$ , donc la droite coupe le plan.

Type 6 : Calculer la distance d'un point à un plan

Quand ? On veut la distance d'un point $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ à un plan d'équation $a x + b y + cz + d = 0$ .

Identifie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ dans l'équation du plan.
Applique la formule $d (A, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
Calcule la valeur numérique (sans oublier la valeur absolue au numérateur).

Exemple éclair : Distance de $A (1; 1; 1)$ au plan $2 x + y - 2 z + 3 = 0$ : $\frac{∣2 + 1 - 2 + 3∣}{4 + 1 + 4} = \frac{4}{3}$ .

Type 7 : Déterminer l'équation d'une sphère et tester l'appartenance

Quand ? On connaît le centre $Ω (a; b; c)$ et le rayon $R$ (ou un point de la sphère).

Équation : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Si on donne le centre et un point $A$ , calcule $R = Ω A$ .
Pour tester un point $M$ : remplace ses coordonnées ; égalité $\Rightarrow M$ sur la sphère, $< R^{2}$ intérieur, $> R^{2}$ extérieur.

Exemple éclair : Sphère de centre $Ω (0; 0; 0)$ et rayon $3$ : $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ ; le point $(1; 2; 2)$ vérifie $1 + 4 + 4 = 9$ , il est sur la sphère.

Géométrie analytique de l'espace — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

7 exercices

Représentation paramétrique d'une droite

Facile

Énoncé

Donner une représentation paramétrique de la droite

D

passant par

A (1, - 2, 3)

et dirigée par

u (2, 1, - 1)

Ma réponse

Géométrie analytique de l'espace

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I. Repère orthonormé de l'espace

II. Représentation paramétrique d'une droite

Définition

Comment trouver un vecteur directeur ?

III. Position relative de deux droites

IV. Équation cartésienne d'un plan

Définition

Astuce

V. Position relative droite / plan

VI. Distance d'un point à un plan

VII. Méthode BAC type 2024

VIII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Géométrie analytique de l'espace

Type 1 : Calculer coordonnées d'un vecteur, normes et milieu

Type 2 : Calculer un produit scalaire et tester l'orthogonalité

Type 3 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Type 4 : Trouver une représentation paramétrique de droite

Type 5 : Étudier la position relative droite / plan ou plan / plan

Type 6 : Calculer la distance d'un point à un plan

Type 7 : Déterminer l'équation d'une sphère et tester l'appartenance

Géométrie analytique de l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Représentation paramétrique d'une droite

Distance entre 2 points

Vecteurs égaux en 3D

Équation paramétrique d'une droite

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Vecteur normal à un plan

Exercices Intermédiaires

Test d'appartenance à un plan

Équation d'une sphère

Équation cartésienne d'un plan par 3 points

Intersection droite/plan

Équation cartésienne d'un plan

Équation paramétrique d'une droite

Alignement de 3 points

Exercices Difficiles

Position relative droite/plan

Plans parallèles et distance

Distance point-plan

Volume d'un tétraèdre

Exercices supplémentaires

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Quiz — Géométrie analytique de l'espace

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