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Le chapitre Géométrie analytique de l'espace est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Géométrie analytique de l'espace fait partie du programme officiel de 1ère Bac Sciences Exp. au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Géométrie analytique de l'espace sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Géométrie analytique de l'espace sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Géométrie analytique de l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Repère orthonormé de l'espace

$(O; i, j, k)$ avec les 3 vecteurs orthogonaux unitaires.

Un point $M$ a des coordonnées $(x, y, z)$ telles que $O M = x i + y j + z k$ .

II. Représentation paramétrique d'une droite

Définition

La droite $D$ passant par $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et dirigée par $u (a, b, c)$ a pour représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c, t \in R$

Comment trouver un vecteur directeur ?

Pour la droite $(A B)$ : $u = A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A})$ .

III. Position relative de deux droites

Soient $D$ dirigée par $u$ et $D^{'}$ dirigée par $u^{'}$ , passant par $A$ et $A^{'}$ .

Parallèles confondues : $u$ et $u^{'}$ colinéaires ET $A \in D^{'}$
Parallèles strictement : $u$ et $u^{'}$ colinéaires ET $A \in / D^{'}$
Sécantes (intersection) : $u$ et $u^{'}$ non colinéaires ET les droites se coupent en un point unique
Non coplanaires : $u$ et $u^{'}$ non colinéaires ET les droites ne se rencontrent jamais

IV. Équation cartésienne d'un plan

Définition

Un plan $P$ passant par $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ a pour équation cartésienne :

$a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$

soit $a x + b y + cz + d = 0$ avec $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ .

Astuce

Les coefficients $(a, b, c)$ de l'équation cartésienne sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan !

V. Position relative droite / plan

$u$ vecteur directeur de la droite, $n$ vecteur normal du plan.

Droite parallèle au plan : $u \cdot n = 0$ (et droite hors du plan)
Droite incluse dans le plan : $u \cdot n = 0$ ET un point de la droite appartient au plan
Droite sécante au plan : $u \cdot n \neq = 0$ → un seul point d'intersection
Droite perpendiculaire au plan : $u$ colinéaire à $n$

VI. Distance d'un point à un plan

Distance de $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ au plan $P : a x + b y + cz + d = 0$ :

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soient $A (1, 0, 2)$ , $B (2, 1, 0)$ , $C (0, 1, 1)$ .
1) Déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
2) Calculer la distance du point $D (3, - 1, 2)$ à ce plan.

Solution :

$A B (1, 1, - 2)$ , $A C (- 1, 1, - 1)$ .
Cherchons $n (a, b, c)$ orthogonal aux 2 : $a + b - 2 c = 0$ et $- a + b - c = 0$ .
En additionnant : $2 b - 3 c = 0$ , donc $b = 3 c /2$ . Pour $c = 2$ : $b = 3$ , et $a = 2 c - b = 4 - 3 = 1$ .
Donc $n (1, 3, 2)$ .
Équation : $1 (x - 1) + 3 (y - 0) + 2 (z - 2) = 0$ , soit $x + 3 y + 2 z - 5 = 0$ .

2) $d (D, (A B C)) = \frac{∣3 + 3 ( - 1 ) + 2 ( 2 ) - 5∣}{1 + 9 + 4} = \frac{∣ - 1∣}{14} = \frac{1}{14}$ .

VIII. Top 5 pièges à éviter

Confondre vecteur directeur (droite) et vecteur normal (plan).
Croire que 2 droites non parallèles sont sécantes. Dans l'espace, elles peuvent être non coplanaires.
Oublier le coefficient $d$ dans l'équation cartésienne.
Oublier la valeur absolue dans la formule de distance.
Mal calculer un vecteur normal au plan $(A B C)$ . Il doit être orthogonal à $A B$ ET $A C$ .

📈 Figure clé

Repère de l'espace

🔑 Formules clés à retenir

Droite (param.) : $⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c$

Plan (cartésien) : $a x + b y + cz + d = 0$

$(a, b, c)$ = coords d'un vecteur normal

Distance point-plan :

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Position relative : utiliser $u \cdot n$

$= 0$ : parallèle / incluse
$\neq = 0$ : sécante

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Équation cartésienne d'un plan passant par 3 points : trouver $n$ orthogonal à $A B$ et $A C$ (système 2×3).
🎯 Distance point-plan : exactement la même formule que distance point-droite, mais avec 3 variables.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Géométrie analytique de l'espace

Type 1 : Calculer coordonnées d'un vecteur, normes et milieu

Quand ? On dispose de points $A$ , $B$ par leurs coordonnées et on veut $A B$ , sa norme ou un milieu.

Coordonnées : $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .
Norme : $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Milieu $I$ de $[A B]$ : $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ .

Exemple éclair : $A (1; 0; 2)$ , $B (3; 4; 2)$ : $A B (2; 4; 0)$ , $∥ A B ∥ = 4 + 16 = 25$ .

Type 2 : Calculer un produit scalaire et tester l'orthogonalité

Quand ? On veut un produit scalaire, un angle, ou vérifier que deux vecteurs sont perpendiculaires.

Avec $u (x; y; z)$ et $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
Pour l'orthogonalité : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
Pour un angle : $cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ .

Exemple éclair : $u (1; 2; - 1)$ , $v (2; - 1; 0)$ : $u \cdot v = 2 - 2 + 0 = 0$ , donc $u ⊥ v$ .

Type 3 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Quand ? On connaît un point $A$ du plan et un vecteur normal $n (a; b; c)$ .

Le plan a une équation de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ , où $(a; b; c)$ sont les coordonnées de $n$ .
Détermine $d$ en remplaçant les coordonnées du point $A$ dans l'équation.
Écris l'équation finale du plan.

Exemple éclair : Plan passant par $A (1; 0; 2)$ de normal $n (2; 1; - 1)$ : $2 x + y - z + d = 0$ avec $2 - 2 + d = 0$ , donc $d = 0$ et l'équation est $2 x + y - z = 0$ .

Type 4 : Trouver une représentation paramétrique de droite

Quand ? On connaît un point $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ et un vecteur directeur $u (α; β; γ)$ .

Un point $M (x; y; z)$ appartient à la droite ssi $A M = t u$ pour un réel $t$ .
Écris le système : $x = x_{0} + t α$ , $y = y_{0} + tβ$ , $z = z_{0} + t γ$ , avec $t \in R$ .
Si la droite est définie par deux points $A$ et $B$ , prends $u = A B$ .

Exemple éclair : Droite par $A (1; 2; 0)$ de direction $u (1; 0; 3)$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 z = 3 t$ , $t \in R$ .

Type 5 : Étudier la position relative droite / plan ou plan / plan

Quand ? On veut savoir si une droite est parallèle, sécante, ou incluse dans un plan (ou comparer deux plans).

Repère le vecteur directeur $u$ de la droite et le vecteur normal $n$ du plan.
Si $u \cdot n = 0$ : la droite est parallèle au plan (ou incluse) ; teste si un point de la droite vérifie l'équation du plan pour trancher.
Si $u \cdot n \neq = 0$ : la droite est sécante ; trouve le point d'intersection en remplaçant la représentation paramétrique dans l'équation du plan.

Exemple éclair : Droite de direction $u (1; 0; 3)$ et plan de normal $n (2; 1; - 1)$ : $u \cdot n = 2 - 3 = - 1 \neq = 0$ , donc la droite coupe le plan.

Type 6 : Calculer la distance d'un point à un plan

Quand ? On veut la distance d'un point $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ à un plan d'équation $a x + b y + cz + d = 0$ .

Identifie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ dans l'équation du plan.
Applique la formule $d (A, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
Calcule la valeur numérique (sans oublier la valeur absolue au numérateur).

Exemple éclair : Distance de $A (1; 1; 1)$ au plan $2 x + y - 2 z + 3 = 0$ : $\frac{∣2 + 1 - 2 + 3∣}{4 + 1 + 4} = \frac{4}{3}$ .

Type 7 : Déterminer l'équation d'une sphère et tester l'appartenance

Quand ? On connaît le centre $Ω (a; b; c)$ et le rayon $R$ (ou un point de la sphère).

Équation : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Si on donne le centre et un point $A$ , calcule $R = Ω A$ .
Pour tester un point $M$ : remplace ses coordonnées ; égalité $\Rightarrow M$ sur la sphère, $< R^{2}$ intérieur, $> R^{2}$ extérieur.

Exemple éclair : Sphère de centre $Ω (0; 0; 0)$ et rayon $3$ : $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ ; le point $(1; 2; 2)$ vérifie $1 + 4 + 4 = 9$ , il est sur la sphère.

Géométrie analytique de l'espace — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

Droite passant par A de vecteur directeur donné

Facile

Énoncé

Donner une représentation paramétrique de la droite

D

passant par

A (1, - 2, 3)

et dirigée par

u (2, 1, - 1)

Ma réponse

Géométrie analytique de l'espace

Géométrie analytique de l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. Repère orthonormé de l'espace

II. Représentation paramétrique d'une droite

Définition

Comment trouver un vecteur directeur ?

III. Position relative de deux droites

IV. Équation cartésienne d'un plan

Définition

Astuce

V. Position relative droite / plan

VI. Distance d'un point à un plan

VII. Méthode BAC type 2024

VIII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Géométrie analytique de l'espace

Type 1 : Calculer coordonnées d'un vecteur, normes et milieu

Type 2 : Calculer un produit scalaire et tester l'orthogonalité

Type 3 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Type 4 : Trouver une représentation paramétrique de droite

Type 5 : Étudier la position relative droite / plan ou plan / plan

Type 6 : Calculer la distance d'un point à un plan

Type 7 : Déterminer l'équation d'une sphère et tester l'appartenance

Géométrie analytique de l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Droite passant par A de vecteur directeur donné

Distance entre 2 points

Vecteurs égaux en 3D

Droite (AB) avec A(1,0,2) et B(3,4,5)

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Vecteur normal à un plan

Droite (D) et point associé au paramètre t=2

Distance entre deux points dans l'espace

Milieu d'un segment dans l'espace

Vecteurs colinéaires dans l'espace

Déterminer un point à partir du milieu

Colinéarité de deux vecteurs par les coordonnées

Vecteur et milieu d'un segment

Coordonnées de points dans un repère de l'espace

Plan passant par A(2,−1,5) de normale (3,−2,1)

E et F appartiennent-ils à la droite (D) ?

Droite (AB) définie par deux points

Distance d'un point à un plan

Exercices Intermédiaires

Test d'appartenance à un plan

Équation d'une sphère

Équation cartésienne d'un plan par 3 points

Intersection droite/plan

Plan passant par A(1,0,2) de normale (2,−1,3)

Droite (AB) avec A(1,0,2) et B(3,−2,1)

Alignement de 3 points

Milieu et distances dans l'espace

Représentation paramétrique d'une droite

Points alignés dans l'espace

Coplanarité de quatre points par combinaison linéaire

Position relative de deux plans

Alignement et coefficient de colinéarité

Point d'une droite vérifiant une condition

Coplanarité de trois vecteurs

P et Q appartiennent-ils à la droite (D) ?

Alignement de trois points

Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Intersection d'une droite et d'un plan

Plan défini par trois points

Exercices Difficiles

Position relative droite/plan

Plans parallèles et distance

Distance point-plan

Volume d'un tétraèdre

Position relative de deux droites et intersection

Point d'une droite équidistant de deux points

Quatrième sommet d'un parallélogramme dans l'espace

Droites parallèles dans l'espace