Statistique (séries à 2 variables) — Résumé de cours

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I. Série statistique double

Définition

Une série statistique double est la donnée de $n$ couples $(x_{i}, y_{i})$ représentant 2 caractères mesurés sur une même population.

Nuage de points

On représente les couples $(x_{i}, y_{i})$ dans un repère cartésien. L'ensemble des points est appelé nuage de points.

II. Point moyen

Le point moyen $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ d'une série double a pour coordonnées :

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}, \overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n y_{i}$

III. Variance et écart-type

Variance de $x$ : $V (x) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$
Écart-type de $x$ : $σ (x) = V (x)$
Idem pour $V (y)$ et $σ (y)$ .

IV. Covariance

Définition

La covariance du couple $(x, y)$ est :

$Cov (x, y) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) (y_{i} - \overset{y}{ˉ}) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

V. Ajustement affine par les moindres carrés

Droite de régression de $y$ en $x$

La meilleure droite ajustant le nuage de points est $y = a x + b$ avec :

$a = \frac{Cov ( x , y )}{V ( x )}, b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$

Cette droite passe toujours par le point moyen $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .

VI. Coefficient de corrélation linéaire

Définition

$r = \frac{Cov ( x , y )}{σ ( x ) \cdot σ ( y )}$

Propriété : $- 1 \leq r \leq 1$ .

$r \approx 1$ : forte corrélation positive (croissante)
$r \approx - 1$ : forte corrélation négative (décroissante)
$r \approx 0$ : pas de corrélation linéaire (le nuage n'est pas alignable)
En pratique, on considère qu'il y a une bonne corrélation linéaire si $∣ r ∣ > 0, 9$ .

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : On a relevé les notes en maths ( $x$ ) et physique ( $y$ ) de 5 élèves :

$x_{i}$	10	12	14	15	18
$y_{i}$	11	13	13	16	17

Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ .

Solution :

$\overset{x}{ˉ} = (10 + 12 + 14 + 15 + 18) /5 = 13, 8$ . $\overset{y}{ˉ} = (11 + 13 + 13 + 16 + 17) /5 = 14$ .

Calcul de Cov $(x, y)$ : $\frac{1}{5} (10 \cdot 11 + 12 \cdot 13 + 14 \cdot 13 + 15 \cdot 16 + 18 \cdot 17) - 13, 8 \cdot 14$
$= \frac{110 + 156 + 182 + 240 + 306}{5} - 193, 2 = 198, 8 - 193, 2 = 5, 6$

Calcul de $V (x) = \frac{1}{5} (100 + 144 + 196 + 225 + 324) - 13, 8^{2} = 197, 8 - 190, 44 = 7, 36$ .

$a = 5, 6/7, 36 \approx 0, 76$ .
$b = 14 - 0, 76 \times 13, 8 \approx 3, 5$ .
Droite de régression : $y \approx 0, 76 x + 3, 5$ .

VIII. Top 4 pièges à éviter

Confondre variance et écart-type. $σ = V$ .
Diviser par $n - 1$ au lieu de $n$ . Au lycée marocain, c'est $n$ (variance brute).
Oublier de vérifier la qualité de l'ajustement avec $r$ avant de conclure.
Confondre $a$ (pente) et $b$ (ordonnée à l'origine) dans la formule.

📈 Figure clé

Nuage de points et droite d'ajustement (régression)

🔑 Formules clés à retenir

Moyennes : $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ , $\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum y_{i}$

Variance : $V (x) = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$

Covariance : $Cov (x, y) = \frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$

Droite de régression : $y = a x + b$

$a = Cov (x, y) / V (x)$
$b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$
Passe par $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$

Coefficient corrélation :

$r = Cov (x, y) / (σ (x) σ (y))$ , avec $∣ r ∣ \leq 1$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Calcule $\overset{x}{ˉ}$ et $\overset{y}{ˉ}$ EN PREMIER. Toutes les autres formules en dépendent.
🎯 Vérifie ton résultat : la droite de régression DOIT passer par $G (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ .
🎯 Si $∣ r ∣ < 0, 9$ , l'ajustement linéaire est peu fiable. Mentionne-le dans ta conclusion.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Statistique (séries à deux variables)

Type 1 : Représenter le nuage de points

Quand ? On dispose d'une série double $(x_{i}; y_{i})$ et on veut visualiser la liaison entre les deux variables.

Choisis un repère et des échelles adaptées aux valeurs de $x$ et de $y$ .
Place chaque couple $(x_{i}; y_{i})$ comme un point du plan.
Observe la forme : un nuage allongé proche d'une droite suggère un ajustement affine.

Exemple éclair : Pour les couples $(1; 2)$ , $(2; 3)$ , $(3; 5)$ , on place trois points presque alignés : un ajustement affine est pertinent.

Type 2 : Calculer le point moyen $G$

Quand ? On veut le point moyen du nuage, qui appartient toujours à la droite de régression.

Calcule la moyenne des abscisses $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}$ .
Calcule la moyenne des ordonnées $\overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n y_{i}$ .
Le point moyen est $G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ .

Exemple éclair : Pour $x : 1, 2, 3$ et $y : 2, 3, 5$ : $\overset{x}{ˉ} = 2$ , $\overset{y}{ˉ} = \frac{10}{3}$ , donc $G (2; \frac{10}{3})$ .

Type 3 : Calculer la variance et l'écart-type

Quand ? On a besoin de $V (x)$ , $σ_{x}$ (et de même pour $y$ ) avant de calculer la corrélation ou la régression.

Variance : $V (x) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ (formule développée, la plus rapide).
Écart-type : $σ_{x} = V (x)$ .
Répète le calcul pour $y$ afin d'obtenir $V (y)$ et $σ_{y}$ .

Exemple éclair : Pour $x : 1, 2, 3$ : $\frac{1 + 4 + 9}{3} - 2^{2} = \frac{14}{3} - 4 = \frac{2}{3}$ , donc $V (x) = \frac{2}{3}$ .

Type 4 : Calculer la covariance

Quand ? On veut $Cov (x, y)$ , indispensable pour le coefficient de corrélation et la droite de régression.

Applique la formule développée : $Cov (x, y) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i} y_{i} - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}$ .
Organise le calcul dans un tableau (colonnes $x_{i}$ , $y_{i}$ , $x_{i} y_{i}$ ) pour éviter les erreurs.
Une covariance positive indique une liaison croissante, négative une liaison décroissante.

Exemple éclair : Pour $(1; 2), (2; 3), (3; 5)$ : $\frac{2 + 6 + 15}{3} - 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{23}{3} - \frac{20}{3} = 1$ .

Type 5 : Calculer et interpréter le coefficient de corrélation

Quand ? On veut mesurer la qualité de l'ajustement affine (force de la liaison linéaire).

Applique $r = \frac{Cov ( x , y )}{σ _{x} σ _{y}}$ .
Vérifie que $- 1 \leq r \leq 1$ .
Interprète : $∣ r ∣$ proche de $1$ $\Rightarrow$ forte corrélation (ajustement affine justifié) ; proche de $0$ $\Rightarrow$ faible liaison.

Exemple éclair : Si $Cov (x, y) = 1$ , $σ_{x} σ_{y} \approx 1, 02$ , alors $r \approx 0, 98$ : corrélation très forte.

Type 6 : Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$

Quand ? On veut l'équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés.

Calcule la pente $a = \frac{Cov ( x , y )}{V ( x )}$ .
Calcule l'ordonnée à l'origine $b = \overset{y}{ˉ} - a \overset{x}{ˉ}$ (la droite passe par $G$ ).
Écris l'équation $y = a x + b$ .

Exemple éclair : Avec $Cov (x, y) = 1$ et $V (x) = \frac{2}{3}$ : $a = \frac{3}{2}$ , $b = \frac{10}{3} - \frac{3}{2} \cdot 2 = \frac{1}{3}$ , donc $y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{3}$ .

Type 7 : Faire une prévision (estimation) à l'aide de la droite

Quand ? On veut estimer une valeur de $y$ pour un $x$ donné (ou inversement) grâce à l'ajustement.

Vérifie d'abord que la corrélation est forte ( $∣ r ∣$ proche de $1$ ) pour que la prévision soit fiable.
Remplace la valeur de $x$ dans l'équation $y = a x + b$ .
Calcule l'estimation et exprime le résultat dans l'unité de la variable étudiée.

Exemple éclair : Avec $y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{3}$ , pour $x = 4$ : $y = 6 + \frac{1}{3} \approx 6, 33$ .

Statistique (séries à 2 variables) — Fiche d'exercices

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Moyenne et variance

Facile

Énoncé

On a relevé les notes suivantes :

10, 12, 14, 16, 18

. Calculer la moyenne et la variance.

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Statistique (séries à 2 variables)

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Définition

Nuage de points

II. Point moyen

III. Variance et écart-type

IV. Covariance

Définition

V. Ajustement affine par les moindres carrés

Droite de régression de y en x

VI. Coefficient de corrélation linéaire

Définition

VII. Méthode BAC type 2024

VIII. Top 4 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Statistique (séries à deux variables)

Type 1 : Représenter le nuage de points

Type 2 : Calculer le point moyen G

Type 3 : Calculer la variance et l'écart-type

Type 4 : Calculer la covariance

Type 5 : Calculer et interpréter le coefficient de corrélation

Type 6 : Déterminer la droite de régression de y en x

Type 7 : Faire une prévision (estimation) à l'aide de la droite

Statistique (séries à 2 variables) — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Moyenne et variance

Calcul de variance par formule directe

Mode et médiane

Calcul moyenne pondérée

Point moyen

Moyenne pondérée

Exercices Intermédiaires

Médiane et quartiles

Coefficient de corrélation

Covariance par formule directe

Coefficient de corrélation

Covariance

Coefficient de corrélation

Estimation par la droite de régression

Variance par formule de König

Exercices Difficiles

Ajustement linéaire (moindres carrés)

Droite de régression et prévision

Droite de régression

Effet d'un changement de variable

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Statistique (séries à 2 variables)

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Droite de régression de $y$ en $x$

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