Étude des fonctions numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Plan d'étude d'une fonction (méthode en 7 étapes)

Domaine de définition $D_{f}$
Parité, périodicité (si pertinent) pour réduire l'étude
Limites aux bornes du domaine
Dérivabilité et calcul de $f^{'} (x)$
Signe de $f^{'}$ et tableau de variations
Asymptotes (verticales, horizontales, obliques)
Tracé de la courbe $C_{f}$

II. Asymptote oblique

Définition

Si $x \to + \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0$ , alors la droite $y = a x + b$ est une asymptote oblique à $C_{f}$ en $+ \infty$ .

Comment trouver $a$ et $b$ ?

$a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$
$b = x \to + \infty lim (f (x) - a x)$

Si les deux limites existent et sont finies, $C_{f}$ admet l'asymptote oblique $y = a x + b$ .

III. Position relative courbe / asymptote

Étudier le signe de $f (x) - (a x + b)$ :

$> 0$ : $C_{f}$ au-dessus de l'asymptote
$< 0$ : $C_{f}$ en dessous
$= 0$ : intersection (rare)

IV. Centre de symétrie / Axe de symétrie

Axe de symétrie

$C_{f}$ admet la droite $x = a$ comme axe de symétrie ssi $\forall h$ tel que $a + h, a - h \in D_{f}$ :

$f (a + h) = f (a - h)$

Centre de symétrie

$C_{f}$ admet $Ω (a, b)$ comme centre de symétrie ssi :

$f (a + h) + f (a - h) = 2 b$

V. Branches infinies

Quand $x \to \infty lim f (x) = \infty$ , on étudie :

Si $lim \frac{f ( x )}{x} = \infty$ : branche parabolique de direction $(O y)$
Si $lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ : branche parabolique de direction $(O x)$
Si $lim \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$ et $lim (f (x) - a x) = b$ : asymptote oblique $y = a x + b$
Si $lim \frac{f ( x )}{x} = a$ et $lim (f (x) - a x) = \infty$ : direction asymptotique $y = a x$

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Étudier la fonction $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ .

Solution :

$D_{f} = R^{*}$ . Impaire car $f (- x) = - f (x)$ . On étudie sur $] 0, + \infty [$ .

$x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ → asymptote verticale $x = 0$ .

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , $\frac{f ( x )}{x} = 1 + \frac{1}{x ^{2}} \to 1$ , $f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0$ .
Donc asymptote oblique $y = x$ en $+ \infty$ .

$f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot x - ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ . Signe de $f^{'}$ : $f^{'} (x) > 0$ sur $] 1, + \infty [$ , $f^{'} (x) < 0$ sur $] 0, 1 [$ .
Minimum local en $x = 1$ : $f (1) = 2$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Calculer la limite avant de simplifier. Toujours simplifier d'abord.
Confondre direction asymptotique et asymptote oblique. Direction = pente seulement. Asymptote = pente + ordonnée à l'origine.
Oublier la position relative courbe/asymptote dans la conclusion graphique.
Tracer la courbe sans tableau de variations.
Ne pas vérifier que $f$ est continue / dérivable avant d'utiliser ces propriétés.

📈 Figure clé

Étude d'une fonction cubique

🔑 Formules clés à retenir

Plan d'étude :

1. Domaine

2. Parité/périodicité

3. Limites aux bornes

4. Dérivée

5. Tableau de variations

6. Asymptotes

7. Tracé

Asymptote oblique $y = a x + b$ :

$a = lim f (x) / x$
$b = lim (f (x) - a x)$

Axe de symétrie $x = a$ : $f (a + h) = f (a - h)$

Centre de symétrie $Ω (a, b)$ : $f (a + h) + f (a - h) = 2 b$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Toujours commencer par $D_{f}$ et finir par le tracé. Méthode systématique.
🎯 Pour les fonctions rationnelles, l'asymptote oblique se trouve par division euclidienne (plus rapide que les limites).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Étude des fonctions numériques

Type 1 : Déterminer l'ensemble de définition

Quand ? Première étape de toute étude : trouver $D_{f}$ .

Repère les contraintes : un dénominateur doit être $\neq = 0$ , une racine carrée exige un radicande $\geq 0$ .
Pose et résous les conditions correspondantes (équations ou inéquations).
Exprime $D_{f}$ comme une réunion d'intervalles.

Exemple éclair : Pour $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ , on impose $x - 2 \neq = 0$ , donc $D_{f} = R ∖ {2}$ .

Type 2 : Étudier la parité (symétries de la courbe)

Quand ? $D_{f}$ est symétrique par rapport à $0$ et on veut réduire le domaine d'étude.

Vérifie que $D_{f}$ est symétrique : $x \in D_{f} \Rightarrow - x \in D_{f}$ .
Calcule $f (- x)$ et simplifie.
Si $f (- x) = f (x)$ : paire (axe des ordonnées). Si $f (- x) = - f (x)$ : impaire (origine, centre de symétrie).

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} + 1$ : $f (- x) = x^{2} + 1 = f (x)$ , donc $f$ est paire.

Type 3 : Calculer les limites aux bornes du domaine

Quand ? On cherche le comportement de $f$ aux bornes de $D_{f}$ (infini, valeurs exclues).

Liste toutes les bornes de $D_{f}$ (y compris $\pm \infty$ et les valeurs interdites).
Calcule la limite à chaque borne (substitution, levée de FI, signe à gauche/droite).
Range ces limites : elles serviront aux asymptotes et aux extrémités du tableau de variations.

Exemple éclair : Pour $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ : $x \to 2^{+} lim f = + \infty$ , $x \to + \infty lim f = 0$ .

Type 4 : Dériver et dresser le tableau de variations

Quand ? C'est le cœur de l'étude : obtenir le sens de variation et les extremums.

Calcule $f^{'} (x)$ et résous $f^{'} (x) = 0$ .
Étudie le signe de $f^{'} (x)$ sur $D_{f}$ .
Dresse le tableau : ligne du signe de $f^{'}$ , ligne des variations de $f$ (flèches), avec limites et extremums.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ , $f^{'} (x) = 2 x - 4$ : décroissante sur $] - \infty, 2]$ , croissante sur $[2, + \infty [$ , minimum $f (2) = - 3$ .

Type 5 : Déterminer les asymptotes

Quand ? On exploite les limites pour décrire le comportement asymptotique de la courbe.

Verticale $x = a$ : si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ .
Horizontale $y = ℓ$ : si $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ fini.
Oblique $y = a x + b$ : calcule $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ puis $b = x \to \pm \infty lim [f (x) - a x]$ .

Exemple éclair : $f (x) = x + \frac{1}{x}$ : $x \to + \infty lim [f (x) - x] = 0$ , donc $y = x$ est asymptote oblique.

Type 6 : Positionner la courbe par rapport à une asymptote

Quand ? On veut savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous d'une asymptote (souvent oblique).

Calcule la différence $d (x) = f (x) - (a x + b)$ .
Étudie le signe de $d (x)$ sur $D_{f}$ .
Si $d (x) > 0$ : courbe au-dessus ; si $d (x) < 0$ : courbe en dessous ; $d (x) = 0$ : point d'intersection.

Exemple éclair : Pour $f (x) = x + \frac{1}{x}$ et $y = x$ : $d (x) = \frac{1}{x} > 0$ si $x > 0$ (courbe au-dessus).

Type 7 : Tracer la courbe représentative

Quand ? Dernière étape : représenter $C_{f}$ dans un repère.

Trace les asymptotes (pointillés) et place quelques points clés (extremums, intersections avec les axes).
Utilise la parité éventuelle pour compléter par symétrie.
Trace la courbe en respectant le tableau de variations et la position par rapport aux asymptotes.

Exemple éclair : Pour une fonction paire, on trace sur $[0, + \infty [$ puis on complète par symétrie axiale par rapport à l'axe $(O y)$ .

Type 8 : Discuter le nombre de solutions de $f (x) = m$

Quand ? On demande le nombre de solutions d'une équation selon un paramètre, ou l'intersection courbe/droite horizontale.

Interprète : le nombre de solutions de $f (x) = m$ est le nombre d'intersections de $C_{f}$ avec la droite $y = m$ .
Lis le tableau de variations : compare $m$ aux extremums et aux limites.
Conclus selon les valeurs de $m$ (0, 1, 2... solutions).

Exemple éclair : Si $f$ a un minimum $- 3$ et tend vers $+ \infty$ aux bornes, alors $f (x) = m$ a 2 solutions si $m > - 3$ , une seule si $m = - 3$ , aucune si $m < - 3$ .

Étude des fonctions numériques — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Asymptote horizontale

Facile

Énoncé

Soit

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}

. Déterminer l'asymptote horizontale de

C_{f}

(s'il y en a).

Courbe représentative de

f

Ma réponse

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I. Plan d'étude d'une fonction (méthode en 7 étapes)

II. Asymptote oblique

Définition

Comment trouver a et b ?

III. Position relative courbe / asymptote

IV. Centre de symétrie / Axe de symétrie

Axe de symétrie

Centre de symétrie

V. Branches infinies

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Étude des fonctions numériques

Type 1 : Déterminer l'ensemble de définition

Type 2 : Étudier la parité (symétries de la courbe)

Type 3 : Calculer les limites aux bornes du domaine

Type 4 : Dériver et dresser le tableau de variations

Type 5 : Déterminer les asymptotes

Type 6 : Positionner la courbe par rapport à une asymptote

Type 7 : Tracer la courbe représentative

Type 8 : Discuter le nombre de solutions de f(x)=m

Étude des fonctions numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Asymptote horizontale

Position relative courbe-droite

Étude polynôme degré 2

Maximum/minimum sur intervalle

Variations via la dérivée

Tangente horizontale

Tableau de variation simple

Exercices Intermédiaires

Étude complète d'une fraction

Résolution graphique d'une équation

Position relative droite/courbe

Étude d'une fraction rationnelle

Asymptote oblique

Encadrement de $f$

Branche infinie

Exercices Difficiles

Étude paramétrée et discussion

Étude complète avec asymptote oblique

Étude complète d'une fonction

Étude avec paramètre

Exercices supplémentaires

—

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Comment trouver $a$ et $b$ ?

Type 8 : Discuter le nombre de solutions de $f (x) = m$