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Énergie potentielle d'une charge dans un champ électrique uniforme — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

Le travail de la force électrique ne dépend que du déplacement le long du champ :

W = q E d

, identique quel que soit le chemin. C'est ce qui permet de définir une énergie potentielle électrique.

1. Rappel : le champ électrique uniforme

Entre deux plaques planes et parallèles portant des charges opposées, séparées par une distance $d$ et soumises à une tension $U_{A B} = V_{A} - V_{B}$ , il règne un champ électrique uniforme $E$ , orienté de la plaque positive vers la plaque négative. Sa norme est donnée par $E = \frac{U _{A B}}{d}$ , exprimée en volts par mètre (V/m). Ce champ est identique en tout point de l'espace entre les plaques : même direction, même sens, même norme.

2. Force électrique exercée sur une charge

Une charge ponctuelle $q$ placée dans ce champ subit une force électrique $F = q E$ . Si $q > 0$ , la force est dans le sens du champ ; si $q < 0$ , elle est de sens opposé. Cette force reste constante en tout point du champ uniforme (même direction, sens et intensité), ce qui simplifie l'étude du mouvement de la charge.

3. Travail de la force électrique

Lorsque la charge se déplace d'un point $A$ vers un point $B$ , le travail de la force électrique s'écrit $W_{A B} (F) = q \times E \times d_{A B}$ , où $d_{A B}$ est la distance algébrique parcourue le long de la direction du champ. On montre que ce travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement des positions initiale et finale : $W_{A B} (F) = q (V_{A} - V_{B}) = q U_{A B}$ . La force électrique est donc une force conservative.

4. Énergie potentielle électrique

À chaque point $M$ du champ, où règne un potentiel $V (M)$ , on associe à la charge $q$ une énergie potentielle électrique $E_{p} (M) = q V (M) + cste$ , exprimée en joules (J). Cette énergie traduit la capacité du système « charge + champ » à fournir un travail lors d'un déplacement.

5. Relation entre travail et variation d'énergie potentielle

Le travail de la force électrique entre $A$ et $B$ est relié à la variation d'énergie potentielle par $W_{A B} (F) = E_{p} (A) - E_{p} (B) = - Δ E_{p}$ . Ainsi, quand la charge se déplace spontanément sous l'effet de la force électrique (travail moteur positif), son énergie potentielle diminue : elle se transforme en énergie cinétique.

6. Théorème de l'énergie cinétique appliqué

Pour une particule chargée de masse $m$ se déplaçant de $A$ vers $B$ sous l'action de la force électrique (le poids étant en général négligeable devant la force électrique pour un électron ou un proton), le théorème de l'énergie cinétique donne : $E_{c} (B) - E_{c} (A) = W_{A B} (F) = q U_{A B}$ , avec $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ . Ce théorème permet de déterminer la vitesse finale d'une particule accélérée entre deux plaques.

7. Conservation de l'énergie mécanique

En l'absence de frottements, l'énergie mécanique du système $E_{m} = E_{c} + E_{p}$ se conserve au cours du mouvement : $E_{c} (A) + E_{p} (A) = E_{c} (B) + E_{p} (B)$ . Toute perte d'énergie potentielle électrique se traduit exactement par un gain équivalent d'énergie cinétique.

8. Unité pratique : l'électron-volt

À l'échelle des particules chargées, le joule est une unité peu commode. On utilise l'électron-volt (eV), énergie acquise par une charge élémentaire $e$ accélérée sous une tension de 1 V : $1 eV = 1, 6 \times 1 0^{- 19} J$ . Cette unité facilite grandement les calculs d'énergie cinétique des électrons ou protons accélérés.

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Accélération d'un électron dans un tube cathodique

Un électron pénètre sans vitesse initiale en un point $A$ d'un champ électrique uniforme créé entre deux plaques planes parallèles soumises à une tension accélératrice $U = 500 V$ . On donne $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ et $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ .

Travail de la force électrique : l'électron étant accéléré, le travail moteur vaut $W = e U = 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 500 = 8, 0 \times 1 0^{- 17} J$ (soit $500 eV$ ).

Vitesse en B : d'après le théorème de l'énergie cinétique, $\frac{1}{2} m_{e} v_{B}^{2} - 0 = W$ , donc $v_{B} = \frac{2 W}{m _{e}} = \frac{2 \times 8 , 0 \times 1 0 ^{- 17}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1, 33 \times 1 0^{7} m/s$ .

Vérification : $\frac{1}{2} \times 9, 1 \times 1 0^{- 31} \times (1, 33 \times 1 0^{7})^{2} \approx 8, 0 \times 1 0^{- 17} J$ , cohérent avec $W$ .

Exemple résolu 2 : Proton accéléré et calcul du champ et de la force

Un proton, initialement au repos en $A$ , est accéléré vers $B$ sous une tension $U_{A B} = 1000 V$ entre deux plaques distantes de $d = 5, 0 cm$ . On donne $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ et $m_{p} = 1, 67 \times 1 0^{- 27} kg$ .

Champ électrique : $E = \frac{U _{A B}}{d} = \frac{1000}{0 , 050} = 2, 0 \times 1 0^{4} V/m$ .

Force électrique : $F = e E = 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 2, 0 \times 1 0^{4} = 3, 2 \times 1 0^{- 15} N$ .

Travail et vitesse finale : $W_{A B} (F) = e U_{A B} = 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 1000 = 1, 6 \times 1 0^{- 16} J$ ( $1000 eV$ ). D'où $v_{B} = \frac{2 e U _{A B}}{m _{p}} = \frac{2 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 16}}{1 , 67 \times 1 0 ^{- 27}} \approx 4, 38 \times 1 0^{5} m/s$ .

🔑 Formules clés à retenir

الصيغ الأساسية

حقل كهربائي منتظم : $E = \frac{U _{A B}}{d}$ ( $E$ بـ V/m، $U_{A B}$ بـ V، $d$ بـ m)
القوة الكهربائية : $F = q E$ (بـ N، مع $q$ بـ C و $E$ بـ V/m)
منظم القوة الكهربائية : $F = ∣ q ∣ \times E$ (N)
شغل القوة الكهربائية : $W_{A B} (F) = q E d_{A B} = q U_{A B}$ (J)
الطاقة الوضعية الكهربائية : $E_{p} = q V$ (J، معرفة بمقدار ثابت جمعي)
العلاقة بين الشغل والطاقة الوضعية : $W_{A B} (F) = E_{p} (A) - E_{p} (B) = - Δ E_{p}$
الطاقة الحركية : $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ (J، مع $m$ بـ kg و $v$ بـ m/s)
مبرهنة الطاقة الحركية : $Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = \sum W_{A B} (F_{i})$
حالة شحنة مسرَّعة بين لبوسين : $\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = q U_{A B}$
السرعة النهائية إذا كانت $v_{A} = 0$ : $v_{B} = \frac{2∣ q ∣ U _{A B}}{m}$ (m/s)
الطاقة الميكانيكية : $E_{m} = E_{c} + E_{p}$ = مقدار ثابت عند انعدام الاحتكاك (J)
الشحنة الأولية : $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$
تحويل الإلكترون-فولط : $1 eV = 1, 6 \times 1 0^{- 19} J$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

الأخطاء الشائعة الواجب تفاديها

الخلط بين $U_{A B}$ و $U_{B A}$ : $U_{A B} = V_{A} - V_{B} = - U_{B A}$ . وأي عكس لترتيب النقطتين يغير إشارة الشغل ومن ثم كل التأويل الفيزيائي.
نسيان إشارة الشحنة : الإلكترون يحمل $q = - e < 0$ . ولكي يتسارع من $A$ إلى $B$ ، يجب أن يكون $q U_{A B} > 0$ ، أي $U_{A B} < 0$ (بمعنى $V_{B} > V_{A}$ )، خلافا للبروتون الذي يحتاج إلى $U_{A B} > 0$ .
الخلط بين الجول والإلكترون-فولط : حول دائما بالمعامل $1, 6 \times 1 0^{- 19}$ قبل جمع أو مقارنة طاقات معبر عنها بوحدات مختلفة.
الإهمال دون تبرير : وزن إلكترون أو بروتون مهمل دائما تقريبا أمام القوة الكهربائية، لكن يجب التحقق من هذه الفرضية أو التسليم بها صراحة في الورقة، لا مجرد إغفالها.
الخلط بين المسافة المقطوعة والمسافة الجبرية : في $W = q E d_{A B}$ ، $d_{A B}$ هي المسافة الجبرية المقيسة على امتداد $E$ ، وليست بالضرورة الطول الكلي للمسار إذا لم يكن مستقيميا في اتجاه الحقل.
نسيان أن $E_{p}$ معرفة بمقدار ثابت جمعي : فالتغير $Δ E_{p}$ بين نقطتين هو وحده الذي له معنى فيزيائي ؛ أما قيمة $E_{p}$ في نقطة معزولة فتتعلق باختيار مرجع الجهد.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

الطريقة 1 : حساب سرعة جسيم مشحون مسرَّع بين لبوسين

الخطوة 1. تحديد الشحنة $q$ (إشارتها وقيمتها)، والكتلة $m$ ، والتوتر المسرع $U_{A B}$ ، والشروط البدئية (السرعة البدئية $v_{A}$ ، وهي منعدمة غالبا).

الخطوة 2. التحقق من أن الجسيم مسرَّع فعلا : يجب أن يكون الشغل $W_{A B} (F) = q U_{A B}$ موجبا، وهو ما يتعلق بإشارة $q$ وإشارة $U_{A B}$ .

الخطوة 3. تطبيق مبرهنة الطاقة الحركية بين $A$ و $B$ : $\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = q U_{A B}$ .

الخطوة 4. عزل $v_{B}$ : إذا كانت $v_{A} = 0$ ، فإن $v_{B} = \frac{2∣ q ∣ U _{A B}}{m}$ . وتحول كل المقادير إلى وحدات النظام العالمي قبل الحساب مع التحقق من تجانس النتيجة.

الطريقة 2 : الربط بين الشغل والطاقة الوضعية والطاقة الحركية

الخطوة 1. تحديد النقطتين $A$ و $B$ من المسار والتوتر $U_{A B}$ بينهما.

الخطوة 2. حساب شغل القوة الكهربائية : $W_{A B} (F) = q U_{A B}$ .

الخطوة 3. استنتاج تغير الطاقة الوضعية : $Δ E_{p} = E_{p} (B) - E_{p} (A) = - W_{A B} (F)$ .

الخطوة 4. إذا كانت المجموعة معزولة (بدون احتكاك)، يستعمل انحفاظ الطاقة الميكانيكية $E_{m} (A) = E_{m} (B)$ للتحقق من $Δ E_{c} = - Δ E_{p}$ أو لحسابها.

الطريقة 3 : تحديد ما إذا كانت الشحنة مسرَّعة أو مكبَّحة

الخطوة 1. تحديد إشارة الشحنة $q$ وإشارة التوتر $U_{A B} = V_{A} - V_{B}$ حسب منحى الانتقال المختار.

الخطوة 2. حساب الجداء $q U_{A B}$ .

الخطوة 3. إذا كان $q U_{A B} > 0$ ، فالشغل محرك : الجسيم يتسارع (تتزايد الطاقة الحركية). وإذا كان $q U_{A B} < 0$ ، فالشغل مقاوم : الجسيم يتباطأ (تتناقص الطاقة الحركية).

Énergie potentielle d'une charge dans un champ électrique uniforme — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

10 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

3 exercices

Champ, force et vitesse d'un électron accéléré

Facile

Énoncé

Un électron, immobile en un point A, est accéléré par un champ électrique uniforme régnant entre deux plaques parallèles distantes de $d = 2, 0 cm$ . La tension accélératrice appliquée a pour valeur $U = 300 V$ . On donne $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ et $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ .

L'électron est négatif : il est attiré par la plaque positive, donc il remonte le champ.

1. Calculer la valeur du champ électrique $E$ entre les plaques.

2. Calculer la valeur de la force électrique $F$ exercée sur l'électron.

3. Calculer le travail moteur de la force électrique lorsque l'électron se déplace de A vers B.

4. En déduire la vitesse $v_{B}$ de l'électron en B.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Tension et travail entre deux plaques parallèles

Facile

Énoncé

Deux plaques métalliques planes et parallèles, distantes de $d = 4, 0 cm$ , créent entre elles un champ électrostatique uniforme d'intensité $E = 5, 0 \times 1 0^{3} V\cdotm^{- 1}$ .

Le champ est uniforme : même direction, même sens et même intensité en tout point entre les plaques.

1. Calculer la tension $U$ établie entre les deux plaques.

2. Une charge $q = + 2, 0 nC$ est déplacée de la plaque positive à la plaque négative, parallèlement au champ. Calculer le travail de la force électrique.

3. Ce travail dépend-il du chemin suivi ? Justifier.

Ma réponse

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Correction détaillée

Champ uniforme entre deux plaques

Facile

Énoncé

Un condensateur plan a ses armatures distantes de

d = 5, 0 cm

et soumises à une tension

U = 250 V

. Une charge

q = 4, 0 \times 1 0^{- 6} C

est placée entre les plaques. 1) Écrire la relation liant le champ électrique uniforme à la tension et à la distance, puis calculer sa valeur. 2) Calculer l'intensité de la force électrique subie par la charge. 3) Cette force dépend-elle de la position de la charge entre les plaques ? Justifier. 4) Que devient le champ si l'on rapproche les plaques à

2, 5 cm

, à tension constante ?

Ma réponse

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Exercices Intermédiaires

4 exercices

Accélération d'un électron dans un canon à électrons

Intermédiaire

Énoncé

Dans un canon à électrons, un électron partant du repos est accéléré entre deux électrodes soumises à une tension $U = 500 V$ .

Données : charge élémentaire $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ ; masse de l'électron $m = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ .

Tout le travail de la force électrique se retrouve en énergie cinétique : la particule part du repos.

1. Calculer le travail de la force électrique sur l'électron.

2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, calculer la vitesse acquise par l'électron.

3. Comparer cette vitesse à celle de la lumière ( $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m\cdots^{- 1}$ ) et commenter.

Ma réponse

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Correction détaillée

Proton accéléré avec vitesse initiale non nulle

Intermédiaire

Énoncé

Un proton pénètre en A avec une vitesse initiale $v_{A} = 1, 0 \times 1 0^{5} m/s$ , colinéaire au champ, dans une région où règne un champ électrique uniforme entre deux plaques distantes de $d = 10 cm$ , soumises à une tension $U_{A B} = 800 V$ . On donne $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ et $m_{p} = 1, 67 \times 1 0^{- 27} kg$ .

La vitesse initiale est colinéaire au champ : le mouvement reste rectiligne, seule sa valeur change.

1. Calculer la valeur du champ électrique $E$ .

2. Calculer le travail de la force électrique entre A et B.

3. Déterminer la vitesse $v_{B}$ en B à l'aide du théorème de l'énergie cinétique.

4. Calculer la variation d'énergie potentielle électrique $Δ E_{p}$ entre A et B.

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Correction détaillée

L'électronvolt et l'accélération d'une particule

Intermédiaire

Énoncé

Un électron initialement au repos est accéléré sous une tension

U = 100 V

. On donne

e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C

m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg

. 1) Que représente un électronvolt, et à combien de joules correspond-il ? 2) À combien de joules correspondent

500 eV

? 3) Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et établir l'expression de la vitesse acquise. 4) Calculer cette vitesse. 5) Que deviendrait cette vitesse si l'on quadruplait la tension accélératrice ?

Ma réponse

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Travail de la force électrique et énergie potentielle

Intermédiaire

Énoncé

Une charge

q = 5, 0 \times 1 0^{- 7} C

se déplace d'un point

A

où règne le potentiel

V_{A} = 150 V

vers un point

B

où règne

V_{B} = 90 V

. On utilisera la relation

W_{A B} = q (V_{A} - V_{B})

. 1) Calculer le travail de la force électrique lors de ce déplacement. 2) Ce travail est-il moteur ou résistant ? 3) En déduire la variation d'énergie potentielle électrique de la charge. 4) Que deviendrait ce travail pour une charge de même valeur absolue mais négative ? 5) La force électrique dans un champ uniforme est dite conservative. Qu'est-ce que cela signifie ?

Ma réponse

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Exercices Difficiles

3 exercices

L'analogie avec la pesanteur, et ses limites

Difficile

Énoncé

On compare le mouvement d'une charge dans un champ électrique uniforme à celui d'un solide dans le champ de pesanteur. On considère une charge

q

dans un champ

E

, et un solide de masse

m

dans un champ

g

. 1) Établir la correspondance terme à terme entre les deux situations, pour la force, l'énergie potentielle et l'accélération. 2) Deux particules de charges

+ q

- q

suivent le même trajet de

A

vers

B

. Comparer les travaux de la force électrique. 3) Cette situation a-t-elle un équivalent dans le champ de pesanteur ? Que peut-on en conclure ? 4) Une charge livrée à elle-même dans un champ électrique uniforme, sans autre force, voit-elle son énergie mécanique varier ? 5) Un électron et un proton sont lâchés au repos dans le même champ électrique uniforme. Comparer leurs accélérations et le sens de leur mouvement.

Ma réponse

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Correction détaillée

Identification d'une particule et calcul d'une tension retardatrice

Difficile

Énoncé

Une particule chargée, initialement au repos, est accélérée à travers une tension $U = 2000 V$ et atteint une vitesse $v = 2, 65 \times 1 0^{7} m/s$ en sortie de la zone d'accélération.

Vitesse et tension sont mesurées : leur combinaison donne le rapport charge sur masse de la particule.

1. Calculer le rapport $\frac{∣ q ∣}{m}$ (charge massique) de la particule.

2. Sachant que $\frac{e}{m _{e}} \approx 1, 76 \times 1 0^{11} C/kg$ pour l'électron et $\frac{e}{m _{p}} \approx 9, 58 \times 1 0^{7} C/kg$ pour le proton, identifier la nature de la particule accélérée.

3. Cette particule pénètre ensuite dans une seconde zone où règne un champ électrique freinateur. Déterminer la tension retardatrice $U^{'}$ qu'il faut appliquer entre l'entrée et la sortie de cette zone pour que la particule s'arrête exactement à la sortie (utiliser le théorème de l'énergie cinétique).

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Correction détaillée

Charge en équilibre entre pesanteur et force électrique

Difficile

Énoncé

Une petite sphère de masse $m = 2, 0 g$ portant la charge $q = - 3, 0 μ C$ est placée dans un champ électrostatique uniforme vertical dirigé vers le bas, d'intensité $E = 1, 0 \times 1 0^{4} V\cdotm^{- 1}$ . On prend $g = 9, 8 N\cdotkg^{- 1}$ .

La charge est négative : la force électrique est opposée au champ, donc dirigée vers le haut, et elle peut compenser le poids.

1. Déterminer la direction, le sens et l'intensité de la force électrique subie par la sphère.

2. Calculer le poids de la sphère et comparer les deux forces.

3. En déduire l'accélération de la sphère, abandonnée sans vitesse initiale.

4. Calculer la distance parcourue au bout de $0, 50 s$ .

5. Quelle valeur du champ faudrait-il pour maintenir la sphère en équilibre ?

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Énergie potentielle d'une charge dans un champ électrique uniforme

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1. Rappel : le champ électrique uniforme

2. Force électrique exercée sur une charge

3. Travail de la force électrique

4. Énergie potentielle électrique

5. Relation entre travail et variation d'énergie potentielle

6. Théorème de l'énergie cinétique appliqué

7. Conservation de l'énergie mécanique

8. Unité pratique : l'électron-volt

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Accélération d'un électron dans un tube cathodique

Exemple résolu 2 : Proton accéléré et calcul du champ et de la force

🔑 Formules clés à retenir

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Méthodes types

الطريقة 1 : حساب سرعة جسيم مشحون مسرَّع بين لبوسين

الطريقة 2 : الربط بين الشغل والطاقة الوضعية والطاقة الحركية

الطريقة 3 : تحديد ما إذا كانت الشحنة مسرَّعة أو مكبَّحة

Énergie potentielle d'une charge dans un champ électrique uniforme — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Champ, force et vitesse d'un électron accéléré

Tension et travail entre deux plaques parallèles

Champ uniforme entre deux plaques

Exercices Intermédiaires

Accélération d'un électron dans un canon à électrons

Proton accéléré avec vitesse initiale non nulle

L'électronvolt et l'accélération d'une particule

Travail de la force électrique et énergie potentielle

Exercices Difficiles

L'analogie avec la pesanteur, et ses limites

Identification d'une particule et calcul d'une tension retardatrice

Charge en équilibre entre pesanteur et force électrique

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