لتكن $f(x)=\frac{x^2-1}{x^3-x}$.

1. حدد $D_f$. هل هو متماثل بالنسبة للصفر؟
2. بسط تعبير $f(x)$.
3. ادرس زوجية الدالة $f$.

لتكن $h(x)=\frac{1}{x^2+1}$ معرفة على $\mathbb{R}$.

1. اكتب $h$ على شكل دالة مركبة $h=g\circ f$ مع تحديد $f$ و $g$.
2. ادرس اتجاه تغير $f$ على $]-\infty ;0]$ و $[0;+\infty [$.
3. ادرس اتجاه تغير $g$ على $]0;+\infty [$.
4. استنتج اتجاه تغير $h$ على كل من المجالين $]-\infty ;0]$ و $[0;+\infty [$.

لتكن $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$، المعرفة على $\mathbb{R}$.

1. بين أن لكل $x\in \mathbb{R}$ : $-\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{1}{2}$. (إرشاد: ادرس إشارة $(x-1{)}^2$ و $(x+1{)}^2$)
2. تحقق أن $f(1)=\frac{1}{2}$ و $f(-1)=-\frac{1}{2}$.
3. استنتج أن $f$ تبلغ حديها وأن $f$ مكبورة ومصغورة على $\mathbb{R}$.

لتكن الدوال $f$، $g$، $h$ معرفة بـ:

$f(x)=x^2$ ، $g(x)=\frac{x\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}{1}$ ، $h(x)=x\cdot |x|$

1. حدد $D_f$، $D_g$، $D_h$.
2. لكل زوج، قل ما إذا كانت الدالتان متساويتين. برر.

لتكن $f(x)=\sqrt{x+1}$ و $g(x)=2x-3$.

1. حدد $D_f$ و $D_g$.
2. احسب وبسط $(g\circ f)(x)$. حدد مجموعة تعريفها.
3. احسب وبسط $(f\circ g)(x)$. حدد مجموعة تعريفها.
4. هل الدالتان $g\circ f$ و $f\circ g$ متساويتان؟

منحنى $C_f$ يمثل دالة $f$ معطى. من خلال القراءة البيانية، نلاحظ:

• $f$ يمر بالنقط $A(-2;3)$، $B(0;1)$، $C(1;0)$، $D(3;-2)$، $E(4;1)$
• $f$ تبلغ قيمة عظمى عند $x=-2$ مع $f(-2)=3$
• $f$ تبلغ قيمة صغرى عند $x=3$ مع $f(3)=-2$

1. ما هي صورة $0$ بـ $f$؟ صورة $4$؟
2. ما هي سوابق $1$ بـ $f$؟
3. على أي مجال $f$ متناقصة حسب المبيان؟
4. هل تقبل $f$ محور تماثل حسب هذه المعطيات؟ علل.

نعتبر الدالتين $f$ و $g$ المعرفتين بـ:

$f(x)=x^2-4x+3\text{et}g(x)=\frac{x+2}{x+1}$

1. أنشئ جدول تغيرات $f$، وحدد نقط تقاطع $(C_f)$ مع المحاور، وحدد طبيعة المنحنى $(C_f)$.

2. بين أن $f$ محدودة من الأسفل بـ $-1$ على $\mathbb{R}$.

3. حدد $D_{g\circ f}$ ثم احسب $(g\circ f)(x)$.

4. حدد $D_{f\circ g}$ ثم احسب $(f\circ g)(x)$.

نعتبر الدالتين $f$ و $g$ المعرفتين بـ:

$f(x)=\sqrt{x+4}\text{et}g(x)=2x^3$

1. حدد $D_f$ وأنشئ جدول تغيرات $f$.

2. أنشئ جدول تغيرات $g$.

3. حدد $D_{g\circ f}$ ثم احسب $(g\circ f)(x)$.

دالة محدودة من الأعلى ومن الأسفل

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

1. بيّن أن $f$ محدودة من الأعلى بـ $1$ على $\mathbb{R}$.
2. بيّن أن $f$ محدودة من الأسفل بـ $-1$ على $\mathbb{R}$.
3. ادرس تكافؤ $f$.

دراسة ثلاثية حدود ودالة كسرية

لتكن $f$ و $g$ معرفتين بـ $f(x)=x^2-4x+3$ و $g(x)=\frac{x+2}{x+1}$.

1. أنشئ جدول تغيرات $f$ وحدد طبيعة منحناها $(C_f)$.
2. حدد نقاط تقاطع $(C_f)$ مع محوري المعلم.
3. بين أن $f$ محدودة من الأسفل بـ $-1$ على $\mathbb{R}$.
4. حدد $D_{g\circ f}$ ثم احسب $(g\circ f)(x)$.

الدالة المركبة $g\circ f$ ومجموعة تعريف $\sqrt{2x-x^2}$

لتكن $f(x)=-x^2+2x+1$ و $g(x)=\sqrt{x-1}$. نضع $h(x)=\sqrt{2x-x^2}$.

1. تحقق من أن المنحنيين $(C_f)$ و $(C_g)$ يتقاطعان في النقطة $A(2;1)$.
2. حدد مجموعة تعريف $h$.
3. تحقق من أن $h(x)=(g\circ f)(x)$ لكل $x\in D_h$.

التقاطع والدالة المركبة

لتكن $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3$ و $g(x)=\frac{x+6}{2x-2}$.

1. أعط تغيرات $f$ على $\mathbb{R}$ ومجموعة تعريف $g$.
2. تحقق من أن $(C_f)$ و $(C_g)$ متقاطعان في النقطة $A(2;4)$.
3. ادرس رتابة الدالة $f\circ g$ على $[2;+\infty [$.

القيمة العظمى لدالة كسرية

لتكن $f$ معرفة بـ $f(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}$.

1. حدد $D_f$.
2. بين أن $f$ محدودة من الأعلى بـ $3$ على $D_f$.
3. بين أن $3$ هي القيمة العظمى لـ $f$.

مجموعة التعريف وحصر $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}$

لتكن $f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}$.

1. حدد $D_f$.
2. بين أنه من أجل كل $x\in D_f$ : $0<f(x)\le \sqrt{3}$.

نص التمرين

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x^2-4x+3$.

1. أنشئ جدول تغيرات $f$ وحدد طبيعة منحناها $(C_f)$.

2. حدد نقاط تقاطع $(C_f)$ مع محوري المعلم $(O;\vec{i};\vec{j})$.

3. بين أن $f$ محدودة من الأسفل بـ $-1$ على $\mathbb{R}$.

نص التمرين

نعتبر الدالة $g$ المعرفة بـ $g(x)=\frac{x+2}{x+1}$.

1. حدد $D_g$.

2. ادرس تغيرات $g$ وحدد طبيعة المنحنى $(C_g)$.

3. حدد نقط تقاطع $(C_g)$ مع محوري المعلم.

التمرين

لتكن $f(x)=\sqrt{x+4}$ و $g(x)=2x^3$.

1. حدد $D_f$ واتجاه تغير $f$.

2. أعط $D_g$ واتجاه تغير $g$.

3. حدد $D_{g\circ f}$ ثم احسب $(g\circ f)(x)$.

دالة من الدرجة الثانية

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x^2-4x+3$.

1. أنشئ جدول تغيرات $f$.
2. حدد طبيعة المنحنى $(C_f)$ (القمة، محور التماثل).
3. حدد نقاط تقاطع $(C_f)$ مع محوري المعلم.
4. بين أن $f$ محدودة من الأسفل بـ $-1$ على $\mathbb{R}$.

دوال مركبة من دالتين

نعتبر $f(x)=x^2-4x+3$ و $g(x)=\frac{x+2}{x+1}$.

1. حدد $D_{g\circ f}$ ثم احسب $(g\circ f)(x)$.
2. حدد $D_{f\circ g}$.

الدالة الجذرية والدالة المركبة

نعتبر $f(x)=\sqrt{x+4}$ و $g(x)=2x^3$.

1. حدد $D_f$ ثم أنشئ جدول تغيرات $f$.
2. ادرس تغيرات $g$ على $\mathbb{R}$.
3. حدد $D_{g\circ f}$ ثم احسب $(g\circ f)(x)$.

تقاطع المنحنيات

نعتبر $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3$ و $g(x)=\frac{x+6}{2x-2}$.

1. حدد $D_g$ واتجاه تغير $g$.
2. تحقق من أن $(C_f)$ و $(C_g)$ متقاطعان في النقطة $A(2;4)$.
3. حدد المركز والمقاربات للقطع الزائد $(C_g)$.

لتكن الدالة $f(x)=\ln (\sqrt{x-1})$. حدد مجموعة التعريف $D_f$.

لتكن $f(x)=3x$ و $g(x)=3x+2$. أثبت أن $f$ و $g$ غير متساويتين.

لتكن الدالة $f(x)=x^2$. حدد تعبير $g(x)=f(x)+4$ وصف التحويل البياني.

لتكن الدالة $f(x)=-x^2$. أوجد تعبير $g(x)=f(-x)$ وبين أن $g$ تساوي $f$.

ارسم منحنى الدالة $f(x)=x^2-4$ وحدد نقط تقاطعه مع محور الأفاصيل.

لتكن الدالة $f(x)=x^2$. ما هي الدالة $g(x)=f(x)-3$، وما هو التحويل الذي يمثله هذا؟

حدد ما إذا كانت الدالة $f(x)=x^3-3x$ زوجية، فردية، أو ليست أياً منهما.

حدد مجموعة تعريف الدالة $h(x)=\ln (x-1)$.

بين أن الدالتين $f(x)=x^2$ و $g(x)=x\times x$ متساويتان.

إذا كانت $f(x)=x^2$، فحدد تعبير الدالة $g(x)=f(x-2)$ ومجموعة تعريفها.

لتكن $f(x)=x^2-3$. بين أن f دالة زوجية.

لتكن $f(x)=x^2$ و $g(x)=\sqrt{x}$. أحسب $(f\circ g)(x)$ وحدد مجموعة تعريفها.