Produit scalaire dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

الجداء السلمي في الفضاء

الجداء السلمي، الذي سبقت دراسته في المستوى، يُعمَّم على الفضاء. وهو يشكل الأداة المركزية لمعالجة التعامد، والزوايا، والمسافات، وكذلك معادلات المستويات والكرات. الفضاء مزود بمعلم متعامد ومتجانس مباشر $(O, i, j, k)$ .

1. تذكير: الجداء السلمي في المستوى

نذكّر بالتعابير الثلاثة المكافئة للجداء السلمي لمتجهتين $u$ و $v$ :

التعبير بالزاوية: $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ ، حيث $θ$ هي الزاوية بين $u$ و $v$ .
التعبير التحليلي (معلم متعامد ومتجانس): إذا كان $u (x, y)$ و $v (x^{'}, y^{'})$ ، فإن $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .
التعبير بالمعيار: $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$ .

2. تعريف الجداء السلمي في الفضاء

تعريف

لتكن $u$ و $v$ متجهتين في الفضاء. يوجد دائماً مستوى يحتوي على ممثلين لـ $u$ و $v$ . الجداء السلمي $u \cdot v$ هو إذن الجداء السلمي لهاتين المتجهتين محسوباً في هذا المستوى:

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$

حيث $θ = (u, v)$ هي الزاوية الهندسية بين $u$ و $v$ . إذا كان $u = 0$ أو $v = 0$ ، نضع $u \cdot v = 0$ .

النتيجة لا تعتمد على المستوى المختار: الجداء السلمي في الفضاء يمدد بشكل طبيعي جداء المستوى.

خاصية (المربع السلمي)

لكل متجهة $u$ : $u \cdot u = u^{2} = ∥ u ∥^{2}$ . وبشكل خاص $∥ u ∥ = u \cdot u$ .

3. الخصائص الجبرية

خاصية (التناظر والخطية الثنائية)

لكل متجهات $u, v, w$ ولكل عدد حقيقي $λ$ :

التناظر: $u \cdot v = v \cdot u$ .
الخطية: $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ .
التجانس: $(λ u) \cdot v = λ (u \cdot v) = u \cdot (λ v)$ .

نستنتج المتطابقات الشهيرة المتجهية:

∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

4. التعبير التحليلي في معلم متعامد ومتجانس

في الفضاء المزود بمعلم متعامد ومتجانس $(O, i, j, k)$ ، لدينا $i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = 1$ و $i \cdot j = j \cdot k = i \cdot k = 0$ .

خاصية

إذا كان $u (x, y, z)$ و $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ ، فإن:

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

علاوة على ذلك، المسافة بين نقطتين $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ و $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ هي:

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

5. تعامد متجهتين

تعريف

متجهتان $u$ و $v$ متعامدتان عندما $u \cdot v = 0$ . نرمز $u ⊥ v$ .

خاصية

في معلم متعامد ومتجانس، $u (x, y, z) ⊥ v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ إذا وفقط إذا $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$ . المتجهة المعدومة متعامدة مع كل متجهة.

مثال محلول 1

لتكن $u (2, - 1, 3)$ و $v (1, 5, 1)$ . لنحسب $u \cdot v$ :

$u \cdot v = 2 \times 1 + (- 1) \times 5 + 3 \times 1 = 2 - 5 + 3 = 0$ .

إذن $u ⊥ v$ : المتجهتان متعامدتان.

6. زاوية متجهتين

من التعريف $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ ، نستخرج قياس الزاوية بين متجهتين غير معدومتين:

cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥} مع 0 \leq θ \leq π

مثال محلول 2

لتكن $u (1, 1, 0)$ و $v (1, 0, 1)$ . لنحدد الزاوية $θ$ بينهما.

$u \cdot v = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1$ .
$∥ u ∥ = 1 + 1 + 0 = 2$ ، $∥ v ∥ = 1 + 0 + 1 = 2$ .
$cos θ = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{2}$ ، إذن $θ = \frac{π}{3} = 60°$ .

7. المتجهة العمودية على مستوى والمعادلة الديكارتية

تعريف

متجهة غير معدومة $n$ هي متجهة عمودية على المستوى $(P)$ إذا كانت متعامدة مع جميع المتجهات الموجهة للمستوى $(P)$ (بعبارة أخرى، $n$ متعامدة مع المستوى).

خاصية (توصيف مستوى)

المستوى $(P)$ المار من $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ والذي متجهته العمودية $n (a, b, c)$ هو مجموعة النقط $M (x, y, z)$ بحيث $A M \cdot n = 0$ ، مما يعطي:

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

خاصية (المعادلة الديكارتية)

كل مستوى في الفضاء يقبل معادلة ديكارتية من الشكل:

$a x + b y + cz + d = 0 مع (a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$

وبالعكس، مثل هذه المعادلة تمثل مستوى متجهته العمودية $n (a, b, c)$ .

مثال محلول 3

لنحدد المعادلة الديكارتية للمستوى $(P)$ المار من $A (1, 2, - 1)$ والذي متجهته العمودية $n (3, - 2, 1)$ .

$A M \cdot n = 0$ تعطي $3 (x - 1) - 2 (y - 2) + 1 (z + 1) = 0$ ، أي:

$3 x - 3 - 2 y + 4 + z + 1 = 0$ ، أي $3 x - 2 y + z + 2 = 0$ .

8. مسافة نقطة من مستوى

خاصية

ليكن $(P) : a x + b y + cz + d = 0$ و $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ نقطة. مسافة $M_{0}$ من المستوى $(P)$ هي:

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

مثال محلول 4

لنحسب مسافة النقطة $M_{0} (2, 0, 1)$ من المستوى $(P) : 2 x - y + 2 z - 3 = 0$ .

$d (M_{0}, P) = \frac{∣2 \times 2 - 0 + 2 \times 1 - 3∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣4 + 2 - 3∣}{9} = \frac{3}{3} = 1$ .

9. معادلة كرة

تعريف

الكرة $(S)$ ذات المركز $Ω (a, b, c)$ ونصف القطر $R > 0$ هي مجموعة النقط $M$ بحيث $Ω M = R$ ، أي $Ω M^{2} = R^{2}$ .

خاصية (المعادلة الديكارتية لكرة)

$M (x, y, z)$ تنتمي إلى $(S)$ إذا وفقط إذا:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

بالتطوير، نحصل على معادلة من الشكل $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + e = 0$ . وبالعكس، مثل هذه المعادلة تمثل كرة، أو نقطة، أو المجموعة الفارغة، حسب إشارة $a^{2} + b^{2} + c^{2} - e$ .

الوضع النسبي لمستوى وكرة

لتكن $(S)$ ذات المركز $Ω$ ونصف القطر $R$ ، و $(P)$ مستوى. نضع $d = d (Ω, P)$ :

إذا كان $d > R$ : المستوى لا يقطع الكرة (تقاطع فارغ).
إذا كان $d = R$ : المستوى مماس للكرة (نقطة تماس وحيدة).
إذا كان $d < R$ : التقاطع دائرة نصف قطرها $r = R^{2} - d^{2}$ .

10. تطبيقات

إثبات تعامد مستقيمات أو مستويات بواسطة المتجهات العمودية.
حساب زوايا بين متجهات، مستقيمات أو مستويات.
تحديد معادلة مستوى مار من ثلاث نقط (بالبحث عن متجهة عمودية متعامدة مع متجهتين من المستوى).
دراسة الوضع النسبي لمستوى وكرة، تحديد نصف قطر دائرة التقاطع.
إيجاد المستوى المماس لكرة في نقطة معطاة (نصف القطر $Ω M$ متجهة عمودية عليه).

🔑 Formules clés à retenir

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ — التعريف الهندسي للجداء السلمي
$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ — التعبير التحليلي في معلم متعامد ومتجانس
$u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ — المربع السلمي
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ — معيار متجهة
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ — المسافة بين نقطتين
$u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0 ⟺ x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$ — التعامد
$cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ — زاوية متجهتين
$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ — متطابقة شهيرة
$∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ — متطابقة شهيرة
$u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$ — التعبير بالمعيار
$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ — مستوى مار من $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ عموديته $n (a, b, c)$
$a x + b y + cz + d = 0$ — المعادلة الديكارتية لمستوى، متجهته العمودية $n (a, b, c)$
$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ — مسافة نقطة من مستوى
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ — كرة مركزها $Ω (a, b, c)$ ونصف قطرها $R$
$r = R^{2} - d^{2}$ — نصف قطر دائرة التقاطع مستوى/كرة (حالة $d < R$ )

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

خطأ: نسيان القيمة المطلقة في مسافة نقطة من مستوى. الصيغة هي $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ : المسافة دائماً موجبة.

❌

خطأ: الخلط بين إحداثيات المتجهة العمودية. في $a x + b y + cz + d = 0$ ، المتجهة العمودية هي $n (a, b, c)$ — وليس $d$ أبداً، الذي لا يتدخل في الاتجاه.

❌

خطأ: كتابة $u \cdot v = 0$ للتعامد. الجداء السلمي عدد حقيقي: نكتب $u \cdot v = 0$ (صفر سلمي)، وليس المتجهة المعدومة أبداً.

✅

لإيجاد معادلة مستوى مار من ثلاث نقط $A, B, C$ : ابحث عن متجهة عمودية $n (a, b, c)$ متعامدة مع $A B$ و $A C$ (جملة $n \cdot A B = 0$ و $n \cdot A C = 0$ )، ثم استعمل $A M \cdot n = 0$ .

✅

لدراسة وضع مستوى وكرة، قارن دائماً $d (Ω, P)$ و $R$ : $d > R$ (لا تقاطع)، $d = R$ (مماس)، $d < R$ (دائرة نصف قطرها $R^{2} - d^{2}$ ).

💡

قبل تطبيق $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ ، تحقق من إشارة الجداء السلمي: إذا كان سالباً، الزاوية منفرجة ( $θ > \frac{π}{2}$ )؛ إذا كان معدوماً، الزاوية تساوي $\frac{π}{2}$ .

💡

للتعرف على كرة انطلاقاً من $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + e = 0$ ، اجمع في مربعات (الشكل القانوني): المركز يُقرأ مباشرة $Ω (a, b, c)$ و $R^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - e$ يجب أن يكون موجباً قطعاً.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الجداء السلمي في الفضاء

النوع 1: حساب جداء سلمي

متى؟ نريد $u \cdot v$ انطلاقا من الإحداثيات أو المعايير والزاوية.

بالإحداثيات $u (x; y; z)$ و $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : طبق $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
بالمعايير والزاوية: $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ .
اختر التعبير الملائم للمعطيات.
احسب واستنتج.

مثال سريع: $u (1; 2; 3) \cdot v (0; 1; - 1) = 0 + 2 - 3 = - 1$ .

النوع 2: إثبات تعامد شعاعين

متى؟ نريد إثبات أن $u ⊥ v$ .

احسب الجداء السلمي $u \cdot v$ .
إذا كان $u \cdot v = 0$ (مع $u, v$ غير منعدمين)، فالشعاعان متعامدان.
في الهندسة، استعمل $A B \cdot A C = 0$ لزاوية قائمة في $A$ .
استنتج.

مثال سريع: $u (1; 1; 0) \cdot v (1; - 1; 0) = 1 - 1 + 0 = 0$ ، إذن $u ⊥ v$ .

النوع 3: حساب معيار ومسافة

متى؟ نبحث عن $∥ u ∥$ أو المسافة $A B$ في الفضاء.

المعيار: $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2} = u \cdot u$ .
المسافة: احسب أولا $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .
ثم $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
بسط الجذر.

مثال سريع: من أجل $A (0; 0; 0)$ و $B (2; 1; 2)$ ، $A B = 4 + 1 + 4 = 3$ .

النوع 4: تحديد معادلة ديكارتية لمستوى

متى؟ نعرف نقطة وشعاعا ناظميا للمستوى.

سجل الشعاع الناظمي $n (a; b; c)$ ونقطة $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ من المستوى.
المعادلة تكتب $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ .
انشر في الشكل $a x + b y + cz + d = 0$ .
حدد $d$ بتعويض إحداثيات $A$ .

مثال سريع: مستوى ناظميه $n (1; 2; - 1)$ يمر من $A (1; 0; 0)$ : $x + 2 y - z - 1 = 0$ .

النوع 5: حساب بعد نقطة عن مستوى

متى؟ نبحث عن $d (A, (P))$ لمستوى $(P) : a x + b y + cz + d = 0$ .

ضع معادلة المستوى في الشكل $a x + b y + cz + d = 0$ .
طبق الصيغة: $d (A, (P)) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
احسب البسط والمقام بشكل منفصل.
بسط النتيجة.

مثال سريع: بعد $O$ عن المستوى $2 x + y + 2 z - 6 = 0$ : $\frac{∣ - 6∣}{4 + 1 + 4} = \frac{6}{3} = 2$ .

النوع 6: دراسة الوضع النسبي لمستويين

متى؟ نريد معرفة إذا كان مستويان متوازيين أو منطبقين أو متعامدين.

اقرأ الشعاعين الناظميين $n_{1}$ و $n_{2}$ .
متوازيان أو منطبقان: $n_{1}$ و $n_{2}$ مرتبطان خطيا.
متعامدان: $n_{1} \cdot n_{2} = 0$ .
للتمييز بين متوازيين/منطبقين: اختبر إذا كانت نقطة من مستوى تنتمي للآخر.

مثال سريع: $x + y + z = 1$ و $2 x + 2 y + 2 z = 5$ لهما ناظميان مرتبطان خطيا: مستويان متوازيان.

النوع 7: تحديد معادلة كرة

متى؟ نعرف المركز ونصف القطر، أو يجب التعرف على كرة.

المركز $Ω (a; b; c)$ ونصف القطر $r$ : اكتب $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$ .
للتعرف: أكمل المربعات في $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \dots = 0$ .
ضع في الشكل $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R$ .
إذا كان $R > 0$ : كرة نصف قطرها $R$ ؛ إذا كان $R = 0$ : نقطة؛ إذا كان $R < 0$ : مجموعة فارغة.

مثال سريع: كرة مركزها $Ω (1; 0; 2)$ ونصف قطرها $3$ : $(x - 1)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 9$ .

Produit scalaire dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

Exercices Faciles

2 exercices

Équations cartésiennes de plans par vecteur normal

Facile

Énoncé

حدد معادلة ديكارتية للمستويات التالية:

المستوى $(P)$ المار بالنقطة $A (1; - 1; 0)$ وله متجه ناظمي $n (3; 2; - 1)$ .
المستوى $(Q)$ المار بالنقطة $O$ وله متجه ناظمي $k$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Vecteur normal et représentation paramétrique

Facile

Énoncé

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس $(O, i, j, k)$ . نعتبر النقطتين $A (- 1; 0; 1)$ و $B (1; 2; 0)$ والمستوى $(P) : 2 x + 2 y - z + 3 = 0$ .

تحقق من أن المتجهة $A B$ عمودية على المستوى $(P)$ .
حدد تمثيلا وسيطيا للمستقيم $(A B)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

6 exercices

Orthogonalité, droite et appartenance

Intermédiaire

Énoncé

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس مباشر $(O, i, j, k)$ . نعتبر النقط $A (- 1; - 3; - 2)$ و $B (0; 4; 2)$ و $C (2; 2; - 1)$ و $D (1; 1; 1)$ .

بين أن $(A B) ⊥ (C D)$ .
حدد تمثيلا وسيطيا للمستقيم $(A C)$ .
تحقق من أن النقطة $B^{'} (5; 7; 0)$ تنتمي إلى $(A C)$ .
تحقق من أن النقطة $E (1; 2; - 3)$ لا تنتمي إلى $(A C)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Triangle rectangle isocèle et points non coplanaires

Intermédiaire

Énoncé

في فضاء منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس، نعتبر النقط $A (1; - 2; - 1)$ و $B (3; 3; 0)$ و $C (6; 0; 0)$ .

تحقق من أن النقط $O$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية.
بين أن المثلث $O B C$ قائم الزاوية ومتساوي الساقين في $B$ .
تحقق من أن النقط $O$ و $A$ و $B$ و $C$ غير مستوية.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Droite orthogonale à un plan et point d'intersection

Intermédiaire

Énoncé

نعتبر المستوى $(P) : 4 x - 2 y + z + 1 = 0$ والمستقيم $(D) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = - 1 + \frac{1}{2} t z = - \frac{1}{4} t, t \in R$ .

بين أن $(P)$ و $(D)$ متعامدان.
عين إحداثيات $H$ ، نقطة تقاطع $(P)$ و $(D)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Distance d'un point à un plan et projeté orthogonal

Intermédiaire

Énoncé

لتكن $(P)$ المستوى المعرف بالمعادلة $(P) : 2 x + 3 y - z + 4 = 0$ .

احسب المسافة من النقطة $A (1; 0; 1)$ إلى المستوى $(P)$ ، واستنتج أن $A$ لا تنتمي إلى $(P)$ .
حدد تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(D)$ المار من $A$ والعمودي على $(P)$ .
استنتج إحداثيات النقطة $H$ ، الإسقاط العمودي لـ $A$ على $(P)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Équations de sphères

Intermédiaire

Énoncé

تحديد المعادلة الديكارتية للكرة $(S)$ ذات المركز $Ω (2; - 1; 1)$ ونصف القطر $R = 5$ .
تحديد معادلة الكرة $(S)$ ذات المركز $A (4; - 1; 0)$ المارة بالنقطة $B (3; 5; 1)$ .
ليكن المجموع $(S)$ ذو المعادلة $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 11 = 0$ . أثبت أن $(S)$ كرة وحدد مركزها ونصف قطرها.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Sphère de diamètre [AB]

Intermédiaire

Énoncé

نعتبر النقطتين $A (1; - 2; 1)$ و $B (3; 0; - 1)$ . حدد معادلة الكرة $(S)$ التي قطرها $[A B]$ ، بطريقتين.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Difficiles

6 exercices

Positions relatives de trois plans

Difficile

Énoncé

نعتبر المستويات $(P) : 2 x + y - z + 1 = 0$ ، $(Q) : x + \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z + 2 = 0$ و $(R) : x - 3 y - z + 3 = 0$ .

أثبت أن $(P) // (Q)$ وأن $(P) ⊥ (R)$ .
استنتج الوضع النسبي للمستويين $(Q)$ و $(R)$ .
حدد تمثيلا وسيطيا للمستقيم $(D)$ تقاطع المستويين $(P)$ و $(R)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Plan tangent à une sphère et point de contact

Difficile

Énoncé

لتكن $(S)$ الكرة ذات المعادلة $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 5 = 0$ والمستوى $(P) : 2 x - y - 2 z + 5 = 0$ .

حدد مركز $(S)$ وهو $Ω$ ونصف قطرها $R$ .
احسب $d (Ω, (P))$ ثم استنتج أن $(P)$ مماس لـ $(S)$ في نقطة $H$ .
حدد إحداثيات نقطة التماس $H$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Intersection d'un plan et d'une sphère : cercle

Difficile

Énoncé

لتكن $(S)$ الكرة ذات المركز $Ω (1; 1; - 1)$ ونصف القطر $R = 3$ ، و $(P)$ المستوى $(P) : x + y - z = 0$ .

احسب $d (Ω, (P))$ ثم استنتج أن $(P)$ يقطع $(S)$ وفق دائرة $(C)$ .
حدد إحداثيات مركز $H$ للدائرة $(C)$ ونصف قطرها $r$ .
a) تحقق من أن النقطة $A (3; 3; 0) \in (S)$ . b) حدد معادلة المستوى $(Q)$ المماس لـ $(S)$ في $A$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Intersection d'une droite et de sphères

Difficile

Énoncé

ليكن المستقيم $(D) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = - 1 - t z = - t, t \in R$ . حدد تقاطع $(D)$ مع الكرة $(S)$ في كل من الحالات التالية:

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 1 = 0$ ؛
$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 1 = 0$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Plan tangent à une sphère et inégalité

Difficile

Énoncé

نعتبر النقط $A (2; 2; 2)$ و $B (2; 4; 0)$ و $C (6; 2; - 2)$ والكرة $(S)$ ذات المركز $Ω (3; 3; 3)$ ونصف القطر $r = 3$ .

a) بين أن $A$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية. b) بين أن $n (1; 1; 1)$ متجهة ناظمية للمستوى $(A B C)$ . c) تحقق من أن $x + y + z - 6 = 0$ معادلة ديكارتية للمستوى $(A B C)$ .
a) بين أن $(A B C)$ مماس للكرة $(S)$ وأن $A \in (S)$ . b) حدد إحداثيات نقطة التماس بين $(A B C)$ و $(S)$ .
لتكن $M (a; b; c)$ نقطة من المستوى $(A B C)$ . a) بين أن $Ω M \geq r$ . b) استنتج أن $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 12$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Sphère tangente à un plan et point de contact

Difficile

Énoncé

نعتبر النقط $A (0; 1; 1)$ ، $B (1; 0; 1)$ ، $C (1; 1; 0)$ .

بين أن $x + y + z - 2 = 0$ معادلة ديكارتية للمستوى $(A B C)$ .
حدد معادلة ديكارتية للكرة $(S)$ ذات المركز $O$ والمماسة للمستوى $(A B C)$ .
حدد إحداثيات $I$ ، نقطة تماس $(S)$ و $(A B C)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الجداء السلمي في الفضاء

1. تذكير: الجداء السلمي في المستوى

2. تعريف الجداء السلمي في الفضاء

تعريف

خاصية (المربع السلمي)

3. الخصائص الجبرية

خاصية (التناظر والخطية الثنائية)

4. التعبير التحليلي في معلم متعامد ومتجانس

خاصية

5. تعامد متجهتين

تعريف

خاصية

مثال محلول 1

6. زاوية متجهتين

مثال محلول 2

7. المتجهة العمودية على مستوى والمعادلة الديكارتية

تعريف

خاصية (توصيف مستوى)

خاصية (المعادلة الديكارتية)

مثال محلول 3

8. مسافة نقطة من مستوى

خاصية

مثال محلول 4

9. معادلة كرة

تعريف

خاصية (المعادلة الديكارتية لكرة)

الوضع النسبي لمستوى وكرة

10. تطبيقات

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الجداء السلمي في الفضاء

النوع 1: حساب جداء سلمي

النوع 2: إثبات تعامد شعاعين

النوع 3: حساب معيار ومسافة

النوع 4: تحديد معادلة ديكارتية لمستوى

النوع 5: حساب بعد نقطة عن مستوى

النوع 6: دراسة الوضع النسبي لمستويين

النوع 7: تحديد معادلة كرة

Produit scalaire dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équations cartésiennes de plans par vecteur normal

Vecteur normal et représentation paramétrique

Exercices Intermédiaires

Orthogonalité, droite et appartenance

Triangle rectangle isocèle et points non coplanaires

Droite orthogonale à un plan et point d'intersection

Distance d'un point à un plan et projeté orthogonal

Équations de sphères

Sphère de diamètre [AB]

Exercices Difficiles

Positions relatives de trois plans

Plan tangent à une sphère et point de contact

Intersection d'un plan et d'une sphère : cercle

Intersection d'une droite et de sphères

Plan tangent à une sphère et inégalité

Sphère tangente à un plan et point de contact

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Produit scalaire dans l'espace

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone