Dérivation et étude de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: المشتقة هي الأداة المركزية: التكلفة الهامشية، الإيرادات الهامشية، وتحسين الربح (الحد الأقصى) أو تقليل التكلفة.

I. تذكير بالاشتقاق

المشتقات المعتادة

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$(sin x)^{'} = cos x$ ، $(cos x)^{'} = - sin x$

قواعد الاشتقاق

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (إذا $u > 0$ )

II. مشتقة دالة مركبة

مبرهنة

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $u (x)$ و $u$ قابلة للاشتقاق عند $x$ ، فإن $f \circ u$ قابلة للاشتقاق عند $x$ و:

$(f \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot f^{'} (u (x))$

مثال: اشتقاق $h (x) = sin (x^{2} + 1)$ .
نضع $u (x) = x^{2} + 1$ ، $f (t) = sin t$ . إذن $u^{'} (x) = 2 x$ و $f^{'} (t) = cos t$ .
$h^{'} (x) = 2 x cos (x^{2} + 1)$ .

III. خطة دراسة دالة (7 خطوات)

مجموعة التعريف $D_{f}$
الزوجية، الدورية (لتقليص الدراسة)
النهايات عند الحدود لـ $D_{f}$
الاستمرارية والقابلية للاشتقاق على $D_{f}$
إشارة $f^{'}$ وجدول التغيرات
المقاربات (رأسية، أفقية، مائلة)
رسم $C_{f}$

IV. المقارب المائل

$y = a x + b$ مقارب مائل لـ $C_{f}$ عند $+ \infty$ إذا وفقط إذا:

$a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ (منتهية، غير معدومة)
$b = x \to + \infty lim (f (x) - a x)$ (منتهية)

V. التقعر ونقطة الانعطاف

$f^{''} (x) > 0$ ← $f$ محدبة (المنحنى متجه نحو الأعلى)
$f^{''} (x) < 0$ ← $f$ مقعرة (المنحنى متجه نحو الأسفل)
إذا غيرت $f^{''}$ إشارتها عند $x_{0}$ ← نقطة انعطاف عند $x_{0}$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: دراسة كاملة لـ $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ .

الحل:

$D_{f} = R ∖ {1}$ .

النهايات: $x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty$ ، $x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty$ ، $x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty$ .
→ مقارب رأسي $x = 1$ .

مقارب مائل: القسمة: $\frac{x ^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ .
$f (x) - (x + 1) = \frac{1}{x - 1} \to 0$ عند $\pm \infty$ → مقارب مائل $y = x + 1$ .

المشتقة: $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ أو $x = 2$ .
$f^{'}$ موجبة على $] - \infty, 0 [\cup] 2, + \infty [$ .
حد أقصى محلي عند 0: $f (0) = 0$ . حد أدنى محلي عند 2: $f (2) = 4$ .

VII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين $(uv)^{'}$ و $u^{'} v^{'}$ .
نسيان $u^{'}$ في المشتقات المركبة.
الخلط بين المقارب المائل والاتجاه المقارب.
دراسة $f^{''}$ دون إنهاء $f^{'}$ .
الاعتقاد أن $f^{'} (x_{0}) = 0$ ⇒ قيمة حدية (مثال: $f (x) = x^{3}$ ).
الرسم دون جدول التغيرات.

📈 Figure clé

Maximum d'une fonction (ex : profit)

🔑 Formules clés à retenir

المشتقة المركبة: $(f \circ u)^{'} = u^{'} \cdot f^{'} (u)$

خطة الدراسة:

1. $D_{f}$ • 2. الزوجية • 3. النهايات

4. $f^{'}$ • 5. الجدول • 6. المقاربات • 7. الرسم

مقارب مائل $y = a x + b$ :

$a = lim f / x$ ، $b = lim (f - a x)$

التقعر: إشارة $f^{''}$

$f^{''} > 0$ : محدبة
$f^{''} < 0$ : مقعرة
تغيير الإشارة: انعطاف

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 بالنسبة للدوال الكسرية، استخدم القسمة الإقليدية لإيجاد المقارب المائل: إنها فورية.
🎯 يجب أن يتضمن جدول التغيرات دائمًا النهايات عند الحدود.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الاشتقاق ودراسة الدوال

النوع 1 : حساب مشتقة

متى ؟ عندما يُطلب $f^{'} (x)$ لدالة اعتيادية أو تركيب (مجموع، جداء، خارج قسمة، دالة مركبة).

تحديد البنية : جداء $uv$ ، خارج قسمة $\frac{u}{v}$ ، دالة مركبة، أو مجموع.
تطبيق الصيغة : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ، $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ، $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ ، $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .
التبسيط وإن أمكن، التحليل للتحضير لدراسة الإشارة.

مثال توضيحي : $f (x) = \frac{x}{x + 1} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

النوع 2 : دراسة التغيرات (إشارة $f^{'}$ )

متى ؟ عندما يُطلب اتجاه تغير $f$ أو جدول تغيراتها.

حساب $f^{'} (x)$ ثم تحليل العبارة.
إنشاء جدول إشارات $f^{'} (x)$ على المجال.
الاستنتاج : $f$ متزايدة حيث $f^{'} > 0$ ، متناقصة حيث $f^{'} < 0$ ؛ التسجيل في جدول التغيرات مع النهايات/القيم عند الحدود.

مثال توضيحي : $f (x) = x^{2} - 4 x \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x - 4$ ، إذن $f$ تتناقص على $] - \infty; 2]$ وتتزايد على $[2; + \infty [$ .

النوع 3 : قيمة حدية محلية (قيمة عظمى / صغرى)

متى ؟ عندما نبحث عن قيمة عظمى أو صغرى لدالة (شائع جداً في الأمثلة الاقتصادية).

حساب $f^{'} (x)$ وحل $f^{'} (x) = 0$ .
دراسة إشارة $f^{'}$ حول كل حل $x_{0}$ .
إذا تغيرت $f^{'}$ من $+$ إلى $-$ : قيمة عظمى عند $x_{0}$ ؛ من $-$ إلى $+$ : قيمة صغرى. حساب $f (x_{0})$ للقيمة الحدية.

مثال توضيحي : $f (x) = - x^{2} + 6 x$ : $f^{'} (x) = - 2 x + 6 = 0$ عند $x = 3$ ؛ $f^{'}$ تنتقل من $+$ إلى $-$ إذن قيمة عظمى $f (3) = 9$ .

النوع 4 : معادلة المماس

متى ؟ عندما يُطلب معادلة المماس لـ $C_{f}$ عند نقطة فاصلتها $a$ .

حساب $f (a)$ (إحداثية نقطة التماس).
حساب $f^{'} (a)$ (معامل التوجيه للمماس).
كتابة $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

مثال توضيحي : $f (x) = x^{2}$ عند $a = 1$ : $f (1) = 1$ ، $f^{'} (1) = 2$ ، المماس $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

النوع 5 : أمثلة التكلفة

متى ؟ عندما تُعطى تكلفة إجمالية $C (q)$ ونبحث عن الكمية $q$ التي تدني التكلفة (الإجمالية أو المتوسطة).

تحديد الدالة : تكلفة إجمالية $C (q)$ أو تكلفة متوسطة $C_{M} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ ؛ تحديد مجال $q$ المقبول ( $q > 0$ ).
الاشتقاق وحل $C^{'} (q) = 0$ (أو $C_{M}^{'} (q) = 0$ ).
التحقق بإشارة المشتقة أنها قيمة صغرى، ثم حساب التكلفة المثلى.

مثال توضيحي : $C (q) = q^{2} + 100$ ، $C_{M} (q) = q + \frac{100}{q}$ ؛ $C_{M}^{'} (q) = 1 - \frac{100}{q ^{2}} = 0$ يعطي $q = 10$ : تكلفة متوسطة دنيا.

النوع 6 : تعظيم الإيراد

متى ؟ عندما نعرف السعر $p (q)$ (أو الطلب) ونبحث عن الكمية التي تعظم الإيراد $R (q) = p (q) \times q$ .

كتابة الإيراد $R (q) = p (q) \cdot q$ وتبسيطه.
حساب $R^{'} (q)$ (الإيراد الحدي) وحل $R^{'} (q) = 0$ .
التحقق من أن $R^{'}$ تنتقل من $+$ إلى $-$ (قيمة عظمى)، ثم حساب $R$ والسعر المقابلين.

مثال توضيحي : $p (q) = 20 - q \Rightarrow R (q) = 20 q - q^{2}$ ؛ $R^{'} (q) = 20 - 2 q = 0$ عند $q = 10$ : إيراد أقصى $R (10) = 100$ .

النوع 7 : تعظيم الربح

متى ؟ عندما نتوفر على الإيراد $R (q)$ والتكلفة $C (q)$ ؛ ونبحث عن الإنتاج الذي يعظم الربح $B (q) = R (q) - C (q)$ .

تكوين الربح $B (q) = R (q) - C (q)$ .
الاشتقاق : $B^{'} (q) = R^{'} (q) - C^{'} (q)$ وحل $B^{'} (q) = 0$ (أي الإيراد الحدي = التكلفة الحدية).
التحقق من إشارة $B^{'}$ (انتقال من $+$ نحو $-$ ) لتأكيد القيمة العظمى، ثم حساب الربح الأقصى $B (q)$ .

مثال توضيحي : $R (q) = 20 q - q^{2}$ ، $C (q) = q^{2} + 4$ : $B (q) = - 2 q^{2} + 20 q - 4$ ، $B^{'} (q) = - 4 q + 20 = 0$ عند $q = 5$ ، ربح أقصى $B (5) = 46$ .

النوع 8 : خطة كاملة لدراسة دالة

متى ؟ تمرين تركيبي : دراسة $f$ ورسم منحناها.

مجموعة التعريف $D_{f}$ والقيم الممنوعة.
النهايات عند حدود $D_{f}$ والمقاربات المحتملة.
المشتقة $f^{'}$ ، الإشارة، جدول التغيرات.
بعض النقط (تقاطعات مع المحاور) ثم رسم دقيق لـ $C_{f}$ .

مثال توضيحي : بالنسبة لـ $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ : $D_{f} = R ∖ {1}$ ، مقاربات $x = 1$ و $y = 1$ ، $f^{'} (x) = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}} < 0$ إذن $f$ متناقصة على كل مجال.

Dérivation et étude de fonctions — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

22 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 22 corrigés

Exercices Faciles

9 exercices

Dérivée composée

Facile

Énoncé

احسب مشتقة

f (x) = (3 x^{2} + 1)^{5}

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Dérivation et étude de fonctions

Dérivation et étude de fonctions — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير بالاشتقاق

المشتقات المعتادة

قواعد الاشتقاق

II. مشتقة دالة مركبة

مبرهنة

III. خطة دراسة دالة (7 خطوات)

IV. المقارب المائل

V. التقعر ونقطة الانعطاف

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الاشتقاق ودراسة الدوال

النوع 1 : حساب مشتقة

النوع 2 : دراسة التغيرات (إشارة f′)

النوع 3 : قيمة حدية محلية (قيمة عظمى / صغرى)

النوع 4 : معادلة المماس

النوع 5 : أمثلة التكلفة

النوع 6 : تعظيم الإيراد

النوع 7 : تعظيم الربح

النوع 8 : خطة كاملة لدراسة دالة

Dérivation et étude de fonctions — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Dérivée composée

Dérivée seconde et concavité

Dérivée polynôme degré élevé

Dérivée composition simple

Dérivée d'un quotient

Dérivée et signe

Dérivée et tangente horizontale

Coût marginal et coût moyen

Seuil de rentabilité

Exercices Intermédiaires

Point d'inflexion

Inégalité par variations

Étude complète avec asymptote oblique

Étude variations + extremum

Concavité et point d'inflexion

Tangentes parallèles

Étude de variations + tableau

Dérivée de fonction composée

Extremums absolus

Convexité et point d'inflexion

Maximum du bénéfice

Coût moyen minimal

Profit avec prix variable

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Dérivation et étude de fonctions

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

النوع 2 : دراسة التغيرات (إشارة $f^{'}$ )