Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: تُستخدم المتتاليات لنمذجة الاستثمارات بفوائد مركبة، استهلاك القرض ونمو رأس المال (الرياضيات المالية).

I. تذكير (المتتاليات الحسابية والهندسية)

	حسابية	هندسية
الأساس	$r$ (نضيف)	$q$ (نضرب)
التكرار	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$
الحد العام	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = u_{0} q^{n}$
المجموع	$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$	$S_{n} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (إذا $q \neq = 1$ )

II. تقارب متتالية

تعريف

$(u_{n})$ تتقارب نحو $ℓ$ إذا كان $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ (نهاية منتهية).
وإلا، نقول إن $(u_{n})$ تتباعد.

حالة خاصة: المتتاليات الهندسية

إذا $∣ q ∣ < 1$ : $lim q^{n} = 0$ ، إذن $u_{n} = u_{0} q^{n} \to 0$
إذا $q = 1$ : $u_{n} = u_{0}$ (ثابتة)
إذا $q > 1$ : $lim q^{n} = + \infty$ ← تتباعد
إذا $q \leq - 1$ : لا توجد نهاية (تتذبذب)

III. مبرهنات التقارب

مبرهنة التقارب الرتيب

كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى تتقارب.
كل متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل تتقارب.

مبرهنة الحصر

إذا كان $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ و $lim v_{n} = lim w_{n} = ℓ$ ، فإن $lim u_{n} = ℓ$ .

IV. المتتاليات التكرارية $u_{n + 1} = f (u_{n})$

الطريقة القياسية

إثبات بالتراجع أن $u_{n} \in I$ (مجال مستقر بواسطة $f$ )
دراسة اتجاه تغير $(u_{n})$ : مقارنة $u_{1}$ و $u_{0}$ ، ثم الاستنتاج
إذا كانت متزايدة + محدودة من الأعلى أو متناقصة + محدودة من الأسفل ← تقارب
إذا كانت $(u_{n})$ تتقارب نحو $ℓ$ و $f$ مستمرة: $ℓ = f (ℓ)$

V. البرهان بالتراجع

المبدأ

لإثبات أن خاصية $P (n)$ صحيحة لكل $n \geq n_{0}$ :

التهيئة: التحقق من $P (n_{0})$
الانتقال: افتراض صحة $P (n)$ وإثبات $P (n + 1)$
الخلاصة: بمبدأ التراجع، $P (n)$ صحيحة لكل $n \geq n_{0}$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: لتكن $(u_{n})$ معرفة بـ $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .
1) أثبت بالتراجع أن $u_{n} < 6$ لكل $n$ .
2) أثبت أن $(u_{n})$ متزايدة.
3) استنتج أنها تتقارب وأوجد نهايتها.

الحل:

1) التهيئة: $u_{0} = 1 < 6$ ✓.
الانتقال: لنفترض $u_{n} < 6$ . إذن $\frac{u _{n}}{2} < 3$ ، و $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 3 < 3 + 3 = 6$ ✓.
إذن $u_{n} < 6$ لكل $n$ .

2) $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u _{n}}{2} + 3 - u_{n} = 3 - \frac{u _{n}}{2} > 0$ لأن $u_{n} < 6$ .
إذن $(u_{n})$ متزايدة.

3) متزايدة ومحدودة من الأعلى ← تتقارب نحو $ℓ$ .
بالاستمرارية: $ℓ = \frac{ℓ}{2} + 3 \Rightarrow \frac{ℓ}{2} = 3 \Rightarrow ℓ = 6$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

نسيان التهيئة في البرهان بالتراجع.
الاعتقاد أن $u_{n}$ محدودة ⇐ $u_{n}$ تتقارب. خطأ (مثال: $u_{n} = (- 1)^{n}$ ).
الاستنتاج $ℓ = f (ℓ)$ دون تبرير الاستمرارية.
نسيان أنه عندما $∣ q ∣ < 1$ ، $q^{n} \to 0$ (حالة المتتالية الهندسية).
الاعتقاد أن $u_{n} \to ℓ \Rightarrow u_{n}$ تصل إلى $ℓ$ . ليس بالضرورة.

📈 Figure clé

Capital à intérêts composés

🔑 Formules clés à retenir

التقارب: $lim u_{n} = ℓ$ (منتهية)

المتتالية الهندسية:

$∣ q ∣ < 1$ : $u_{n} \to 0$
$∣ q ∣ > 1$ : $u_{n} \to \pm \infty$

التقارب الرتيب:

متزايدة + محدودة من الأعلى ← تتقارب

الحصر: $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ ، $v, w \to ℓ$

$\Rightarrow u_{n} \to ℓ$

التكرار:

$u_{n + 1} = f (u_{n})$ ، $u_{n} \to ℓ$ ، $f$ مستمرة

$\Rightarrow ℓ = f (ℓ)$

البرهان بالتراجع: تهيئة + انتقال + خلاصة

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 للتقارب: متزايدة + محدودة من الأعلى أو متناقصة + محدودة من الأسفل. هذه هي الطريقة القياسية.
🎯 حيلة لإيجاد $ℓ$ : حل $ℓ = f (ℓ)$ قبل إثبات التقارب. ستحصل على النهاية المرشحة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المتتاليات العددية

النوع 1 : التعرف على متتالية حسابية

متى ؟ عندما نشك في أن الفرق بين حدين متتاليين ثابت.

حساب $u_{n + 1} - u_{n}$ وإظهار أن النتيجة لا تعتمد على $n$ : هذا هو الأساس $r$ .
الاستنتاج أن $(u_{n})$ متتالية حسابية حدها الأول $u_{0}$ (أو $u_{1}$ ) وأساسها $r$ .
إعطاء الحد العام : $u_{n} = u_{0} + n r$ (أو $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ ).

مثال سريع : $u_{n} = 3 n + 2$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 3$ ، إذن متتالية حسابية أساسها $r = 3$ .

النوع 2 : التعرف على متتالية هندسية

متى ؟ عندما نشك في أن النسبة بين حدين متتاليين ثابتة (حدود غير منعدمة).

حساب $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ وإظهار أنه ثابت $q$ (الأساس).
الاستنتاج أن $(u_{n})$ متتالية هندسية أساسها $q$ .
إعطاء الحد العام : $u_{n} = u_{0} q^{n}$ (أو $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ ).

مثال سريع : $u_{n} = 5 \times 2^{n}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 2$ ، إذن متتالية هندسية أساسها $q = 2$ .

النوع 3 : إيجاد الحد العام عبر متتالية مساعدة

متى ؟ متتالية تراجعية من النوع $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ ؛ نعرّف $v_{n}$ للرجوع إليها.

وضع $v_{n} = u_{n} - ℓ$ حيث $ℓ$ هي النقطة الثابتة ( $ℓ = a ℓ + b$ ).
إظهار أن $(v_{n})$ متتالية هندسية أساسها $a$ ، إذن $v_{n} = v_{0} a^{n}$ .
العودة إلى $u_{n} = v_{n} + ℓ$ للحصول على تعبير $u_{n}$ .

مثال سريع : $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3$ : النقطة الثابتة $ℓ = 3$ ، $v_{n} = u_{n} - 3$ هندسية أساسها $2$ ، ومنه $u_{n} = (u_{0} - 3) 2^{n} + 3$ .

النوع 4 : البرهان بالتراجع

متى ؟ عندما يُطلب إثبات أن خاصية $P (n)$ (صيغة، حصر، رتابة) صحيحة لكل $n$ .

التهيئة : التحقق من $P (n_{0})$ للرتبة الأولى (غالباً $n = 0$ أو $n = 1$ ).
الانتقال : افتراض $P (n)$ صحيحة وإثبات $P (n + 1)$ .
الاستنتاج : بالتراجع، $P (n)$ صحيحة لكل $n \geq n_{0}$ .

مثال سريع : إظهار $u_{n} > 0$ : إذا $u_{0} > 0$ و $u_{n + 1} = u_{n} + 1$ ، إذن $u_{n} > 0 \Rightarrow u_{n + 1} = u_{n} + 1 > 0$ : انتقالية.

النوع 5 : حساب مجموع حدود

متى ؟ عندما يُطلب $S = u_{p} + \dots + u_{n}$ لمتتالية حسابية أو هندسية.

تحديد النوع (حسابية أو هندسية) وعدد الحدود $N$ .
حسابية : $S = N \times \frac{الأول + الأخير}{2}$ .
هندسية ( $q \neq = 1$ ) : $S = الأول \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ .

مثال سريع : $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050$ .

النوع 6 : دراسة رتابة متتالية

متى ؟ عندما يُطلب معرفة إذا كانت $(u_{n})$ متزايدة أو متناقصة.

حساب $u_{n + 1} - u_{n}$ ودراسة إشارته : موجب $\Rightarrow$ متزايدة، سالب $\Rightarrow$ متناقصة.
إذا كانت جميع الحدود موجبة قطعاً، يمكن مقارنة $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ بـ $1$ .
الاستنتاج حول اتجاه التغير لكل $n$ .

مثال سريع : $u_{n} = n^{2}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0$ ، إذن $(u_{n})$ متزايدة.

النوع 7 : نهاية متتالية هندسية

متى ؟ عندما يُطلب $n \to + \infty lim u_{n}$ لمتتالية تحتوي على $q^{n}$ .

وضع $u_{n}$ في صيغة تُظهر $q^{n}$ .
تطبيق : إذا $- 1 < q < 1$ فإن $lim q^{n} = 0$ ؛ إذا $q > 1$ فإن $lim q^{n} = + \infty$ .
استنتاج نهاية $u_{n}$ (وتفسيرها، مثلاً استقرار رأس مال).

مثال سريع : $u_{n} = 3 + (\frac{1}{2})^{n}$ : بما أن $(\frac{1}{2})^{n} \to 0$ ، فإن $n \to + \infty lim u_{n} = 3$ .

النوع 8 : تطبيق مالي (فوائد)

متى ؟ مسألة رأس مال، ادخار أو قرض مع دفعات أو معدل فائدة دوري.

فوائد بسيطة (مبلغ ثابت مضاف) : النمذجة بمتتالية حسابية $C_{n} = C_{0} + n i$ .
فوائد مركبة (معدل $t$ لكل فترة) : النمذجة بمتتالية هندسية $C_{n} = C_{0} (1 + t)^{n}$ .
استخدام الحد العام أو صيغ المجاميع لحساب رأس المال بعد $n$ فترة أو مجموع الدفعات.

مثال سريع : رأس مال $10000$ بفائدة $5%$ مركبة : $C_{n} = 10000 \times (1, 05)^{n}$ ، إذن بعد $3$ سنوات $C_{3} = 10000 \times (1, 05)^{3} \approx 11576$ درهم.

Suites numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

23 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 23 corrigés

Exercices Faciles

10 exercices

Placement à intérêts composés

Facile

Énoncé

يضع شخص رأس مال قدره $C_{0} = 10000$ درهم في حساب بمعدل فائدة سنوي قدره $4%$ بفائدة مركبة. نرمز بـ $C_{n}$ لرأس المال المتاح بعد $n$ سنة.

برر أن $(C_{n})$ متتالية هندسية مع تحديد أساسها وحدها الأول.
عبّر عن $C_{n}$ بدلالة $n$ .
احسب رأس المال المتاح بعد $3$ سنوات (التقريب إلى الدرهم).

Ma réponse

Suites numériques

Suites numériques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير (المتتاليات الحسابية والهندسية)

II. تقارب متتالية

تعريف

حالة خاصة: المتتاليات الهندسية

III. مبرهنات التقارب

مبرهنة التقارب الرتيب

مبرهنة الحصر

IV. المتتاليات التكرارية un+1​=f(un​)

الطريقة القياسية

V. البرهان بالتراجع

المبدأ

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — المتتاليات العددية

النوع 1 : التعرف على متتالية حسابية

النوع 2 : التعرف على متتالية هندسية

النوع 3 : إيجاد الحد العام عبر متتالية مساعدة

النوع 4 : البرهان بالتراجع

النوع 5 : حساب مجموع حدود

النوع 6 : دراسة رتابة متتالية

النوع 7 : نهاية متتالية هندسية

النوع 8 : تطبيق مالي (فوائد)

Suites numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Placement à intérêts composés

Amortissement d'un équipement

Limite suite géométrique

Suite par récurrence simple

Somme géométrique

Reconnaissance de nature

Somme partielle

Limite d'une suite géométrique

Limite d'une suite arithmétique

Termes d'une suite récurrente

Exercices Intermédiaires

Comparaison de deux placements

Versements annuels et capital total

Remboursement d'une dette

Convergence par théorème des gendarmes

Démonstration par récurrence

Suite récurrente : étude convergence

Limite d'une suite définie par récurrence

Récurrence math

Démonstration encadrement

Limite par convergence monotone

Récurrence : monotonie

Récurrence : majoration

Suite et théorème de convergence

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Suites numériques

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

IV. المتتاليات التكرارية $u_{n + 1} = f (u_{n})$