I. الدالة الأسية

العلاقة الأساسية

• $e^{\ln x}=x$ (إذا كان $x>0$)
• $\ln (e^x)=x$ (لكل $x$)
• $e^x=y\iff x=\ln y$ (مع $y>0$)

II. الخصائص الجبرية

من أجل $a,b\in \mathbb{R}$، $n\in \mathbb{Z}$:

• $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$
• $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$
• $(e^a{)}^n=e^{na}$
• $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$

III. النهايات المهمة

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ (النمو المقارن — الأسية تفوز)
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$ (النمو المقارن)

IV. المشتقة والمعادلات

المشتقة المركبة

$(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot e^u$

المعادلات

• $e^x=a$: إذا كان $a>0$، فإن $x=\ln a$؛ وإلا لا يوجد حل
• $e^x=e^y\iff x=y$
• التعويض $X=e^x$ للرجوع إلى معادلة كثيرة حدود

V. الدالة $a^x$ (القوة العامة)

من أجل $a>0$: $a^x=e^{x\ln a}$.

المشتقة: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$.

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطيات: لتكن $f(x)=(x-1)e^{-x}$ على $\mathbb{R}$.
1) احسب $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
2) احسب $f^{\prime }(x)$ وأنشئ جدول التغيرات.

الحل:

1) عند $+\infty$: $f(x)=\frac{x-1}{e^x}$. بالنمو المقارن، $\lim =0$.
عند $-\infty$: $x-1\to -\infty$ و $e^{-x}\to +\infty$، إذن $f(x)\to -\infty$.

2) $f^{\prime }(x)=e^{-x}+(x-1)(-e^{-x})=e^{-x}(1-(x-1))=(2-x)e^{-x}$.
$e^{-x}>0$، إذن $f^{\prime }$ لها إشارة $2-x$.
$f$ متزايدة على $]-\infty ,2]$، متناقصة على $[2,+\infty [$.
القيمة العظمى عند $x=2$: $f(2)=e^{-2}\approx 0,135$.

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

1. كتابة $e^{a+b}=e^a+e^b$. خطأ (الصحيح هو $e^a\times e^b$).
2. $(e^u{)}^{\prime }=e^u$. خطأ، يجب $u^{\prime }\cdot e^u$.
3. الاعتقاد أن $e^x=-2$ لها حل. خطأ، $e^x>0$ دائماً.
4. التطبيق الخاطئ للنمو المقارن (الترتيب $\ln \ll x^n\ll e^x$).
5. بالنسبة لـ $a^x$، الاشتقاق كـ $x{a}^{x-1}$. خطأ، يجب المرور عبر $e^{x\ln a}$.