I. الدوال الأصلية

دالتان أصليتان تختلفان بثابت: إذا كانت $F$ و $G$ دالتين أصليتين لـ $f$، فإن $G(x)=F(x)+C$ حيث $C$ ثابت.

II. الدوال الأصلية الاعتيادية (يجب حفظها)

التعرف على $u^{\prime }\cdot u^n$

• $\int u^{\prime }{u}^{n}dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\ne -1$)
• $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$
• $\int u^{\prime }{e}^{u}dx=e^u+C$
• $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}dx=2\sqrt{u}+C$

III. التكامل المحدود

IV. الخصائص

• الخطية: $\int (\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g$
• علاقة شال: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f$
• الإيجابية: إذا كانت $f\ge 0$ على $[a,b]$، فإن $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\ge 0$
• التزايد: إذا كانت $f\le g$، فإن $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g$
• عكس الحدود: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f$

V. التكامل بالتجزيء

متى نستخدم التكامل بالتجزيء؟

لحساب تكامل جداء دالتين. اختيار $u$ (قاعدة LIATE): اللوغاريتم، الدوال المثلثية العكسية، الجبرية، المثلثية، الأسية (بهذا الترتيب من حيث الأفضلية للعامل المشتق).

مثال: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx$.
نضع $u=x$ ($u^{\prime }=1$)، $v^{\prime }=e^x$ ($v=e^x$).
$=[x{e}^x{]}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx=e-[e^x{]}_0^1=e-(e-1)=1$.

VI. حساب المساحات

المساحة بين $C_f$ ومحور الفواصل، بين $a$ و $b$:

$$\mathcal{A}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$$

إذا كانت $f\ge 0$ على $[a,b]$: $\mathcal{A}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

السؤال: احسب $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx$.

الحل: هل نتعرف على $\frac{u^{\prime }}{u}$ مع $u(x)=\ln x$؟ لا، هنا هي $u^{\prime }\cdot u$ مع $u(x)=\ln x$ و $u^{\prime }(x)=1/x$.
إذن الدالة الأصلية: $\frac{u^2}{2}=\frac{(\ln x{)}^2}{2}$.
$I={\left[\frac{(\ln x{)}^2}{2}\right]}_1^e=\frac{(\ln e{)}^2}{2}-\frac{(\ln 1{)}^2}{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$.

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

1. نسيان $+C$ في الدالة الأصلية (بدون حدود).
2. عكس الحدود دون تغيير الإشارة.
3. نسيان $|\cdot |$ في $\ln |x|$.
4. الخلط بين $\int u^{\prime }v$ و $\int u{v}^{\prime }$ في التكامل بالتجزيء.
5. حساب مساحة دون القيمة المطلقة عندما تغير $f$ إشارتها.
6. نسيان المعامل $1/a$ في الدالة الأصلية لـ $e^{ax+b}$.