Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: تحلل النهايات والاستمرارية سلوك دالة التكلفة أو الطلب عند الحدود (إنتاج معدوم أو مرتفع جداً).

I. تذكير حول النهايات

النهايات المعتادة التي يجب حفظها

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \geq 1$ )
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ , $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$

II. الأشكال غير المحددة الأربعة

$\frac{0}{0}$ ← التحليل إلى عوامل بـ $(x - a)$ أو استخدام النهايات المرجعية
$\frac{\infty}{\infty}$ ← التحليل إلى عوامل بالحد المهيمن
$\infty - \infty$ ← التحليل إلى عوامل أو الكمية المرافقة (إذا كانت جذور)
$0 \times \infty$ ← التحويل إلى $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$

III. الاستمرارية

تعريف

$f$ مستمرة عند $a$ إذا كان $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

$f$ مستمرة على مجال $I$ إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من $I$ .

الدوال المستمرة عادة

كثيرات الحدود مستمرة على $R$
الدوال الكسرية مستمرة على مجال تعريفها
$sin, cos, \cdot, exp$ مستمرة على مجالات تعريفها
مجموع، جداء، مركبة دوال مستمرة = مستمرة

IV. الإطالة بالاستمرارية

إذا لم تكن $f$ معرفة عند $a$ لكن $x \to a lim f (x) = ℓ$ موجودة ومنتهية، يمكن إطالة $f$ بوضع $\tilde{f} (a) = ℓ$ . الإطالة $\tilde{f}$ مستمرة عند $a$ .

V. مبرهنة القيم المتوسطة (TVI)

الصياغة

إذا كانت $f$ مستمرة على $[a, b]$ وإذا كان $k$ محصوراً بين $f (a)$ و $f (b)$ ، فإنه يوجد على الأقل $c \in [a, b]$ بحيث $f (c) = k$ .

نتيجة (TVI الصارمة / التقابل)

إذا كانت $f$ مستمرة ومتزايدة تزايداً صارماً على $[a, b]$ ، فإنه لكل $k$ بين $f (a)$ و $f (b)$ ، يوجد $c \in [a, b]$ وحيد بحيث $f (c) = k$ .

التطبيق الكلاسيكي في الباكالوريا SE

"أثبت أن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلاً وحيداً على $I$ ".

الطريقة:

تبرير أن $f$ مستمرة على $I$
تبرير أن $f$ متزايدة تزايداً صارماً (إشارة $f^{'}$ )
إثبات أن $f (a) \cdot f (b) < 0$
الاستنتاج بـ TVI الصارمة

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

التمرين: لتكن $f (x) = x^{3} + x - 1$ .
1) أثبت أن $f$ متزايدة تزايداً صارماً على $R$ .
2) أثبت أن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلاً وحيداً $α \in] 0, 1 [$ .

الحل:

1) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ لكل $x$ . إذن $f$ متزايدة تزايداً صارماً على $R$ .

2) $f$ مستمرة (كثيرة حدود) ومتزايدة تزايداً صارماً على $[0, 1]$ .
$f (0) = - 1 < 0$ و $f (1) = 1 > 0$ . إذن $f (0) \cdot f (1) < 0$ .
حسب TVI الصارمة، يوجد $α \in] 0, 1 [$ وحيد بحيث $f (α) = 0$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

كتابة $\frac{0}{0} = 0$ : هذا شكل غير محدد، يجب رفعه.
تطبيق TVI دون تبرير الاستمرارية.
نسيان التزايد الصارم في TVI الصارمة.
الاستنتاج "يوجد" بدلاً من "يوجد وحيد" بينما المطلوب الوحدانية.
الخلط بين النهاية من اليسار ومن اليمين عند حدود المجال.

📈 Figure clé

Asymptotes :

x = 1

y = 2

🔑 Formules clés à retenir

النهايات المعتادة:

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

الأشكال غير المحددة الأربعة: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty$

الاستمرارية: $x \to a lim f (x) = f (a)$

TVI الصارمة:

$f$ مستمرة + متزايدة تزايداً صارماً + $f (a) f (b) < 0$

$\Rightarrow$ حل وحيد $α \in] a, b [$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 TVI الصارمة = 3 شروط إلزامية: مستمرة، متزايدة تزايداً صارماً، تغيير في الإشارة.
🎯 إذا رأيت "حل وحيد"، فكر فوراً في TVI الصارمة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — النهايات والاستمرارية

النوع 1: النهاية المباشرة (بالتعويض)

متى؟ الدالة معتادة (كثيرة حدود، نسبية، جذر، $ln$ ) والتعويض بـ $x$ بالقيمة لا يعطي أي شكل غير محدد.

التحقق من أن الدالة معرفة حول القيمة المستهدفة.
التعويض مباشرة بـ $x$ بـ $a$ (أو الاستدلال على النهايات المعتادة في $\pm \infty$ ).
الاستنتاج؛ إذا حصلنا على عدد حقيقي، فهو النهاية.

مثال سريع: $x \to 2 lim (x^{2} - 3 x + 1) = 4 - 6 + 1 = - 1$ .

النوع 2: رفع الشكل غير المحدد $\frac{\infty}{\infty}$ أو $\infty - \infty$ (كثيرات حدود / نسبية)

متى؟ نهاية في $+ \infty$ أو $- \infty$ لكثيرة حدود أو خارج قسمة كثيرتي حدود.

بالنسبة لكثيرة حدود: النهاية هي نهاية الحد ذي الدرجة الأعلى.
بالنسبة لخارج قسمة: إخراج الحد ذي الدرجة الأعلى في البسط والمقام، ثم التبسيط.
حساب نهاية التعبير المبسط (الحدود من الشكل $\frac{1}{x ^{n}}$ تؤول إلى $0$ ).

مثال سريع: $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{2} + x} = x \to + \infty lim \frac{2 - \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$ .

النوع 3: رفع الشكل غير المحدد $\frac{0}{0}$ (التحليل إلى جداء)

متى؟ نهاية في $a$ لخارج قسمة حيث البسط والمقام ينعدمان معاً في $a$ .

تحليل البسط والمقام بإخراج $(x - a)$ (جذر واضح، متطابقة هامة).
تبسيط العامل المشترك $(x - a)$ .
التعويض بـ $x$ بـ $a$ في التعبير المبسط.

مثال سريع: $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = 2$ .

النوع 4: نهاية مع جذر (المقدار المرافق)

متى؟ شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ أو $\infty - \infty$ يتضمن جذراً تربيعياً $\cdot$ .

ضرب البسط والمقام في المقدار المرافق.
استخدام $(A - B) (A + B) = A - B$ لإزالة الجذر المزعج.
التبسيط ثم حساب النهاية.

مثال سريع: $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{1}{2}$ .

النوع 5: نهاية بدراسة إشارة المقام (نهاية لانهائية)

متى؟ في $a$ ، البسط يؤول إلى عدد غير منعدم والمقام يؤول إلى $0$ .

حساب نهاية البسط (غير منعدمة) ونهاية المقام ( $= 0$ ).
دراسة إشارة المقام على يسار ويمين $a$ (جدول الإشارات).
استنتاج $+ \infty$ أو $- \infty$ حسب قاعدة الإشارات؛ التمييز بين النهاية على اليسار واليمين إذا اختلفتا.

مثال سريع: $x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty$ و $x \to 1^{-} lim \frac{1}{x - 1} = - \infty$ .

النوع 6: دراسة الاستمرارية في نقطة

متى؟ دالة معرفة بفترات، أو ممددة في نقطة $a$ ؛ يُطلب ما إذا كانت مستمرة في $a$ .

التحقق من أن $f (a)$ موجودة (الدالة معرفة في $a$ ).
حساب $x \to a^{-} lim f (x)$ و $x \to a^{+} lim f (x)$ .
$f$ مستمرة في $a$ إذا وفقط إذا $x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$ .

مثال سريع: إذا كانت $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ من أجل $x \neq = 1$ و $f (1) = 2$ ، فإن $x \to 1 lim f (x) = 2 = f (1)$ : $f$ مستمرة في $1$ .

النوع 7: تحديد مقاربات منحنى

متى؟ ندرس دالة ويُطلب المقاربات الرأسية، الأفقية أو المائلة.

رأسية $x = a$ : إذا كانت $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ (عادة عند القيم الممنوعة).
أفقية $y = ℓ$ في $\pm \infty$ : إذا كانت $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (حقيقي).
مائلة $y = a x + b$ : حساب $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ ثم $b = x \to \pm \infty lim (f (x) - a x)$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ ، المستقيم $y = x$ مقارب مائل في $\pm \infty$ و $x = 0$ مقارب رأسي.

النوع 8: وجود حل (مبرهنة القيم المتوسطة)

متى؟ يُطلب إثبات أن المعادلة $f (x) = k$ تقبل (على الأقل) حلاً على مجال $[a; b]$ .

التحقق من أن $f$ مستمرة على $[a; b]$ .
حساب $f (a)$ و $f (b)$ والتحقق من أن $k$ محصور بينهما (غالباً $f (a) \times f (b) < 0$ من أجل $k = 0$ ).
بمبرهنة القيم المتوسطة، نستنتج أنه يوجد $c \in [a; b]$ بحيث $f (c) = k$ ؛ إذا كانت $f$ متزايدة أو متناقصة تماماً، فالحل وحيد.

مثال سريع: $f (x) = x^{3} + x - 1$ مستمرة، $f (0) = - 1 < 0$ و $f (1) = 1 > 0$ إذن $f (x) = 0$ لها حل في $[0; 1]$ .

Limites et continuité — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

8 exercices

Limite usuelle sin x / x

Facile

Énoncé

احسب

x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{x}

Ma réponse

Limites et continuité

Limites et continuité — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير حول النهايات

النهايات المعتادة التي يجب حفظها

II. الأشكال غير المحددة الأربعة

III. الاستمرارية

تعريف

الدوال المستمرة عادة

IV. الإطالة بالاستمرارية

V. مبرهنة القيم المتوسطة (TVI)

الصياغة

نتيجة (TVI الصارمة / التقابل)

التطبيق الكلاسيكي في الباكالوريا SE

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — النهايات والاستمرارية

النوع 1: النهاية المباشرة (بالتعويض)

النوع 2: رفع الشكل غير المحدد ∞∞​ أو ∞−∞ (كثيرات حدود / نسبية)

النوع 3: رفع الشكل غير المحدد 00​ (التحليل إلى جداء)

النوع 4: نهاية مع جذر (المقدار المرافق)

النوع 5: نهاية بدراسة إشارة المقام (نهاية لانهائية)

النوع 6: دراسة الاستمرارية في نقطة

النوع 7: تحديد مقاربات منحنى

النوع 8: وجود حل (مبرهنة القيم المتوسطة)

Limites et continuité — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Limite usuelle sin x / x

Continuité par morceaux

Limite par règle des polynômes

Continuité d'une fonction par morceaux

Limite en un point fini

FI infini sur infini

Forme indéterminée $\infty/\infty$

Limite avec polynôme et racine

Exercices Intermédiaires

Prolongement par continuité

TVI avec dichotomie

Limite par changement de variable

TVI pour racine d'équation

Limite avec changement de variable

Limite avec valeur absolue

Continuité et paramètre

Continuité en un point

Théorème des valeurs intermédiaires

Asymptote verticale

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Limites et continuité

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

النوع 2: رفع الشكل غير المحدد $\frac{\infty}{\infty}$ أو $\infty - \infty$ (كثيرات حدود / نسبية)

النوع 3: رفع الشكل غير المحدد $\frac{0}{0}$ (التحليل إلى جداء)