Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 في العلوم الاقتصادية: تُستخدم الاحتمالات والعد في مراقبة الجودة، واستطلاعات الاستهلاك، وأمل الربح.

I. العد (تذكير)

المضروبية: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$ . ( $0! = 1$ )
الترتيب (مرتب، بدون تكرار): $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
التوفيق (غير مرتب): $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$

II. مصطلحات الاحتمالات

تجربة عشوائية: لا يمكن التنبؤ بنتيجتها
الفضاء $Ω$ : مجموعة النتائج الممكنة
حدث: جزء من $Ω$
احتمال $P$ : دالة $Ω \to [0, 1]$ مع $P (Ω) = 1$

حالة التساوي في الاحتمال

إذا كانت جميع النتائج متساوية الاحتمال: $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )} = \frac{عدد الحالات المواتية}{عدد الحالات الممكنة}$

III. الاحتمال الشرطي

تعريف

ليكن $A$ حدثاً مع $P (A) > 0$ . الاحتمال الشرطي لـ $B$ بمعلومية $A$ هو:

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

صيغة الاحتمالات المركبة

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

IV. الاستقلالية

$A$ و $B$ مستقلان إذا وفقط إذا $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

بشكل مكافئ (إذا $P (A) > 0$ ): $P (B ∣ A) = P (B)$ .

انتباه: "متنافيان" ≠ "مستقلان"! حدثان متنافيان ( $A \cap B = \emptyset$ ) مع $P (A), P (B) > 0$ ليسا أبداً مستقلين.

V. صيغ مفيدة

المتمم: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
الاتحاد: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
الاحتمالات الكلية: إذا كانت ${A_{1}, \dots, A_{n}}$ تجزئة لـ $Ω$ :
$P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})$

VI. المتغير العشوائي والتوزيع ذو الحدين

متغير عشوائي

المتغير العشوائي $X$ يربط بكل نتيجة عدداً حقيقياً. قانون $X$ يعطي القيم الممكنة واحتمالاتها.

الأمل الرياضي، التباين

$E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$
$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$
$σ (X) = V (X)$

التوزيع ذو الحدين $B (n, p)$

$X$ = عدد النجاحات خلال $n$ تكرار مستقل لبرنولي (نجاح باحتمال $p$ ):

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

$E (X) = n p$ ، $V (X) = n p (1 - p)$ .

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطيات: صندوق يحتوي على 5 كرات حمراء و3 سوداء. نسحب على التوالي 3 كرات بدون إرجاع. $X$ = عدد الكرات الحمراء المحصل عليها.
1) احسب $P (X = 0)$ .
2) أعط قانون $X$ .

الحل:

1) $P (X = 0)$ = سحب 3 سوداء من 8 = $\frac{( 3 3 )}{( 3 8 )} = \frac{1}{56}$ .

2) $P (X = k) = \frac{( k 5 ) ( 3 - k 3 )}{( 3 8 )}$ لـ $k = 0, 1, 2, 3$ .
$P (X = 0) = 1/56$ ، $P (X = 1) = 15/56$ ، $P (X = 2) = 30/56$ ، $P (X = 3) = 10/56$ .
التحقق: $1 + 15 + 30 + 10 = 56$ ✓

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين "متنافيان" و"مستقلان".
عكس البسط والمقام في $P (B ∣ A)$ .
الخلط بين الترتيب والتوفيق (ترتيب مقابل عدم ترتيب).
تطبيق التوزيع ذي الحدين على سحب بدون إرجاع (تبعية المحاولات).
نسيان $(k n)$ في صيغة ذات الحدين.
حساب $V (a X) = aV (X)$ . خطأ، إنها $a^{2} V (X)$ .

📈 Figure clé

Arbre de probabilité

🔑 Formules clés à retenir

العد:

الترتيب: $A_{n}^{p} = n! / (n - p)!$
التوفيق: $(p n) = n! / (p! (n - p)!)$

الاحتمالات:

التساوي في الاحتمال: $P = \frac{المواتية}{الممكنة}$
الشرطي: $P (B ∣ A) = P (A \cap B) / P (A)$
الاستقلالية: $P (A \cap B) = P (A) P (B)$

الأمل الرياضي، التباين:

$E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$
$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$

التوزيع ذو الحدين $B (n, p)$ :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
$E (X) = n p$ ، $V (X) = n p (1 - p)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 حدد نوع السحب: مرتب أم لا، مع أو بدون إرجاع. يحدد الصيغة المستخدمة.
🎯 التوزيع ذو الحدين يتطلب: تكرارات مستقلة + نتيجتان + نفس الاحتمال $p$ . وإلا، فهو توزيع آخر.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الاحتمالات

النوع 1: حساب احتمال بالعد

متى؟ السحب، اختيار لجان أو عينات في حالة تساوي الاحتمالات.

حدد الفضاء الكلي واحسب العدد الكلي للحالات $card (Ω)$ باستخدام التوافيق $(p n)$ (بدون ترتيب) أو الترتيبات (مع الترتيب).
احسب عدد الحالات الملائمة للحدث $A$ .
طبق $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ .
بسّط الكسر، وإذا طُلب، أعط قيمة تقريبية.

مثال سريع: سحب $2$ من بين $5$ رموز: $card (Ω) = (2 5) = 10$ سحبات ممكنة.

النوع 2: استخدام العمليات على الأحداث

متى؟ يُطلب $P (A \cup B)$ ، $P (\overline{A})$ أو التعامل مع أحداث متتامة / متنافية.

الحدث المتمم: $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ (مفيد لـ «على الأقل واحد»).
الاتحاد: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
إذا كان $A$ و $B$ متنافيين: $A \cap B = \emptyset$ إذن $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
تعرّف على صيغ «على الأقل / على الأكثر» وانتقل إلى المتمم عندما يكون أسرع.

مثال سريع: «على الأقل نجاح واحد»: $P (A) = 1 - P (aucun succ \overset{e}{ˋ} s)$ .

النوع 3: الاحتمال الشرطي

متى؟ نقرأ «بمعلومية أن»، أو نعرف نسباً حسب الفئات.

الصيغة الأساسية: $P_{B} (A) = P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ مع $P (B) \neq = 0$ .
للتقاطع: $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$ .
شجرة مرجحة تساعد: كل فرع يحمل احتمالاً، نضرب على طول المسار.
الاستقلالية: $A$ و $B$ مستقلان إذا كان $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

مثال سريع: إذا كان $P (B) = 0, 5$ و $P (A \cap B) = 0, 2$ ، فإن $P_{B} (A) = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ .

النوع 4: صيغة الاحتمالات الكلية

متى؟ الفضاء مقسم إلى عدة حالات (آلات، موردون...) ونريد الاحتمال الإجمالي لحدث.

حدد تجزئة $B_{1}, B_{2}, \dots$ للفضاء (حالات منفصلة تغطي الكل).
أنشئ شجرة: المستوى الأول $B_{i}$ ، المستوى الثاني الحدث $A$ .
طبق $P (A) = P (B_{1}) P_{B_{1}} (A) + P (B_{2}) P_{B_{2}} (A) + \dots$ (مجموع المسارات المؤدية إلى $A$ ).
لاحتمال «عكسي» $P_{A} (B_{i})$ ، اقسم المسار على $P (A)$ .

مثال سريع: آلتان: $P (A) = 0, 6 \times 0, 1 + 0, 4 \times 0, 05 = 0, 08$ .

النوع 5: قانون احتمال متغير عشوائي

متى؟ متغير $X$ يأخذ قيماً عددية (ربح، عدد نجاحات) ويُطلب قانونه.

اسرد جميع القيم الممكنة $x_{i}$ لـ $X$ .
احسب $P (X = x_{i})$ لكل قيمة.
قدّم جدول $(x_{i}, P (X = x_{i}))$ .
تحقق أن مجموع الاحتمالات يساوي $1$ (فحص إلزامي).

مثال سريع: إذا كان $X$ يساوي $0$ أو $1$ مع $P (X = 1) = 0, 3$ ، فإن $P (X = 0) = 0, 7$ والمجموع يساوي $1$ .

النوع 6: الأمل الرياضي، التباين والانحراف المعياري

متى؟ يُطلب الربح المتوسط، الأمل الرياضي أو تشتت متغير عشوائي $X$ .

الأمل الرياضي: $E (X) = i \sum x_{i} P (X = x_{i})$ ؛ يُفسَّر كالقيمة المتوسطة.
التباين: $V (X) = i \sum x_{i}^{2} P (X = x_{i}) - (E (X))^{2}$ .
الانحراف المعياري: $σ (X) = V (X)$ .
للعبة «عادلة»، تحقق إذا كان $E (X) = 0$ (ربح صافٍ متوسط معدوم).

مثال سريع: $X$ يساوي $10$ باحتمال $0, 2$ و $0$ خلاف ذلك: $E (X) = 10 \times 0, 2 = 2$ .

النوع 7: القانون ذو الحدين

متى؟ نكرر $n$ مرة، بشكل مستقل، نفس التجربة ذات نتيجتين (نجاح / فشل) باحتمال $p$ .

تحقق من الشروط: $n$ تجربة متماثلة، مستقلة، نتيجتان، نفس $p$ . إذن $X$ يتبع $B (n, p)$ .
احتمال $k$ نجاحات: $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
لـ «على الأقل» نجاح واحد: $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
الخصائص: $E (X) = n p$ و $V (X) = n p (1 - p)$ .

مثال سريع: لـ $X \sim B (4; 0, 5)$ ، $P (X = 2) = (2 4) (0, 5)^{2} (0, 5)^{2} = 6 \times 0, 0625 = 0, 375$ .

Probabilités — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

23 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 23 corrigés

Exercices Faciles

10 exercices

Choix d'un menu de produits

Facile

Énoncé

يقترح تاجر تشكيلة مكونة من $1$ مشروب يُختار من بين $4$ ، و $1$ طبق يُختار من بين $6$ و $1$ حلوى تُختار من بين $3$ .

كم عدد التشكيلات المختلفة التي يمكن للزبون تكوينها؟
من بين الأطباق الـ $6$ ، يوجد $2$ نباتيان. كم عدد التشكيلات التي تحتوي على طبق نباتي؟
يختار زبون تشكيلته بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن يكون طبقه نباتياً؟

Ma réponse

Probabilités

Probabilités — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. العد (تذكير)

II. مصطلحات الاحتمالات

حالة التساوي في الاحتمال

III. الاحتمال الشرطي

تعريف

صيغة الاحتمالات المركبة

IV. الاستقلالية

V. صيغ مفيدة

VI. المتغير العشوائي والتوزيع ذو الحدين

متغير عشوائي

الأمل الرياضي، التباين

التوزيع ذو الحدين B(n,p)

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الاحتمالات

النوع 1: حساب احتمال بالعد

النوع 2: استخدام العمليات على الأحداث

النوع 3: الاحتمال الشرطي

النوع 4: صيغة الاحتمالات الكلية

النوع 5: قانون احتمال متغير عشوائي

النوع 6: الأمل الرياضي، التباين والانحراف المعياري

النوع 7: القانون ذو الحدين

Probabilités — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Choix d'un menu de produits

Contrôle qualité

Dénombrement et probabilité

Variable aléatoire — loi

Indépendance et événement contraire

Probabilité simple

Dénombrement par combinaison

Lancer de dé

Tirages avec remise

Probabilité simple

Exercices Intermédiaires

Enquête de consommation

Espérance d'un gain

Loi binomiale et livraisons

Espérance d'une VA discrète

Tirage successif sans remise

Formule des probabilités totales

Loi binomiale : probabilité exacte

Probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle

Loi binomiale

Indépendance

Loi binomiale : espérance

Probabilité conditionnelle (Bayes)

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Probabilités

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

التوزيع ذو الحدين $B (n, p)$