1. Rappel : la chute libre sans frottement

On dit qu'un solide est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à l'action de son poids $\vec{P}$, tout frottement et toute poussée d'Archimède étant négligés. En appliquant la deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) au solide de masse $m$, on obtient $m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{P}=m\vec{g}$, soit $\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{g}$. En projetant sur un axe vertical orienté vers le bas, avec une vitesse initiale $v_0$ à $t=0$, l'accélération est constante et égale à $g$ : $a(t)=g$, $v(t)=gt+v_0$, $z(t)=\frac{1}{2}g{t}^2+v_{0}t+z_0$. Ce modèle idéal ne s'applique correctement que dans le vide, ou lorsque les effets de l'air sont négligeables (corps dense et compact, faible vitesse).

2. Chute verticale réelle avec frottement fluide

Dans un fluide réel (air, eau, huile...), un solide en mouvement est freiné par une force de frottement $\vec{f}$ exercée par le fluide, opposée au vecteur vitesse $\vec{v}$. Les forces appliquées sont le poids $\vec{P}$, la poussée d'Archimède (souvent négligeable devant le poids dans l'air, négligée par la suite) et $\vec{f}$. Contrairement à la chute libre, l'accélération n'est plus constante : elle diminue progressivement, car le frottement croît avec la vitesse.

3. Modélisation de la force de frottement fluide

Deux modèles usuels décrivent l'intensité de la force de frottement fluide en fonction de la vitesse : le modèle linéaire $f=kv$, valable pour de faibles vitesses dans un fluide visqueux (écoulement laminaire, par exemple une petite bille dans de l'huile), où $k$ est un coefficient exprimé en ${\text{kg.s}}^{-1}$ ; et le modèle quadratique $f=k{v}^2$, mieux adapté aux grandes vitesses et à l'air (écoulement turbulent, par exemple un parachutiste), où $k$ dépend de la forme du solide, de sa section et de la masse volumique du fluide, et s'exprime en ${\text{kg.m}}^{-1}$. Dans les deux cas, $\vec{f}$ est colinéaire à $\vec{v}$ et de sens opposé.

4. Mise en équation : établir l'équation différentielle (modèle linéaire)

On étudie la chute verticale d'un solide de masse $m$ lâché sans vitesse initiale, sur un axe $Oz$ vertical descendant. Les forces appliquées sont le poids $P=mg$ et le frottement $f=kv$. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe $Oz$ donne : $m\frac{dv}{dt}=mg-kv$. En divisant par $m$, on obtient la forme canonique de l'équation différentielle du premier ordre à coefficients constants : $\frac{dv}{dt}+\frac{v}{\tau }=g$, avec $\tau =\frac{m}{k}$, homogène à un temps (en secondes).

5. Vitesse limite et résolution de l'équation différentielle

La vitesse limite $v_{lim}$ est la vitesse constante que le solide finit par atteindre en régime permanent, c'est-à-dire lorsque $\frac{dv}{dt}=0$. En reportant cette condition dans l'équation différentielle : $0+\frac{v_{lim}}{\tau }=g$, soit $v_{lim}=g\tau =\frac{mg}{k}$. La solution générale, compte tenu de la condition initiale $v(0)=0$, s'écrit $v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau }\right)$. On vérifie aisément par substitution que cette expression satisfait l'équation différentielle et la condition initiale.

6. Régimes transitoire et permanent : rôle du temps caractéristique $\tau$

Le mouvement se déroule en deux régimes. Pendant le régime transitoire (quelques $\tau$), la vitesse croît rapidement depuis $0$ ; la tangente à $v(t)$ à l'origine a pour coefficient directeur $g$ (car $\frac{dv}{dt}(0)=g$ si $v_0=0$). Puis s'établit le régime permanent, où $v$ se stabilise à $v_{lim}$. On le considère atteint pour $t\ge 5\tau$ : $v(5\tau )\approx 0,993v_{lim}$, soit plus de 99 %. Graphiquement, $\tau$ est l'abscisse d'intersection entre la tangente à l'origine et l'asymptote $v=v_{lim}$.

7. Cas du frottement quadratique ($f=k{v}^2$)

Lorsque le frottement est proportionnel au carré de la vitesse, la deuxième loi de Newton donne $m\frac{dv}{dt}=mg-k{v}^2$, soit $\frac{dv}{dt}=g-\frac{k}{m}{v}^2$ : cette équation différentielle est non linéaire. La vitesse limite s'obtient toujours en posant $\frac{dv}{dt}=0$ : $mg=k{v}_{lim}^2$, d'où $v_{lim}=\sqrt{\frac{mg}{k}}$. On admet, et l'on peut vérifier par substitution, que la solution avec $v(0)=0$ s'écrit $v(t)=v_{lim}\tanh \left(\frac{t}{\tau }\right)$, avec le temps caractéristique $\tau =\frac{v_{lim}}{g}$. La fonction $\tanh$ tend vers $1$ lorsque $t$ devient grand, retrouvant ainsi $v\to v_{lim}$.

8. Méthode générale et bilan

Quel que soit le modèle, la démarche reste identique : choisir un axe orienté, recenser les forces, appliquer $m\frac{d\vec{v}}{dt}=\Sigma \vec{F}$, projeter pour obtenir l'équation différentielle en $v(t)$, puis en déduire $v_{lim}$ en annulant $\frac{dv}{dt}$.