1. Présentation du dipôle RC

Un dipôle RC est l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$. Ce dipôle joue un rôle fondamental dans l'étude des régimes transitoires : lorsqu'on soumet ce circuit à un échelon de tension (fermeture ou ouverture d'un interrupteur), la tension aux bornes du condensateur $u_C$ ne peut pas varier instantanément ; elle évolue de façon continue vers sa valeur finale. On distingue deux phénomènes complémentaires : la charge du condensateur, lorsqu'il emmagasine de l'énergie électrique sous l'effet d'un générateur de force électromotrice $E$, et la décharge, lorsqu'il restitue cette énergie à travers la résistance $R$.

2. Charge du condensateur : établissement de l'équation différentielle

On considère un circuit série comportant un générateur de f.é.m. $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$, initialement déchargé ($u_C(0)=0$). À la fermeture de l'interrupteur, la loi d'additivité des tensions (loi des mailles) s'écrit : $E=Ri(t)+u_C(t)$. Comme le courant $i(t)$ est lié à la charge $q(t)$ du condensateur par $i(t)=\frac{dq}{dt}=C\frac{d{u}_C}{dt}$, on obtient l'équation différentielle du premier ordre régissant la charge : $$RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=E$$

3. Résolution de l'équation différentielle en régime de charge

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est la somme d'une solution particulière (le régime permanent, $u_C=E$) et d'une solution de l'équation homogène ($A{e}^{-t/\tau }$). On obtient : $$u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau }\right)$$ où la constante $A=-E$ est déterminée grâce à la condition initiale $u_C(0)=0$. Cette fonction croît de manière continue depuis $0$ jusqu'à la valeur asymptotique $E$, sans jamais la dépasser ni l'atteindre exactement en un temps fini : c'est le régime transitoire de charge.

4. La constante de temps $\tau =RC$

Le produit $\tau =RC$, homogène à un temps (en secondes si $R$ est en ohms et $C$ en farads), caractérise la rapidité du régime transitoire : plus $\tau$ est petit, plus la charge (ou la décharge) est rapide. À l'instant $t=\tau$, la tension a atteint environ 63 % de sa valeur finale ($u_C(\tau )=E(1-e^{-1})\approx 0,63E$). On considère classiquement que le régime permanent est atteint au bout d'une durée $t\approx 5\tau$, instant où $u_C\approx 0,99E$.

5. Décharge du condensateur à travers la résistance

Lorsque le condensateur, initialement chargé sous la tension $E$, est isolé du générateur et relié directement à la résistance $R$, la loi des mailles donne cette fois $Ri(t)+u_C(t)=0$, soit, avec $i(t)=C\frac{d{u}_C}{dt}$ : $$RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=0$$ La solution de cette équation homogène, compte tenu de la condition initiale $u_C(0)=E$, s'écrit : $$u_C(t)=E{e}^{-t/\tau }$$ La tension décroît alors de façon exponentielle depuis $E$ vers $0$, avec la même constante de temps $\tau =RC$ que lors de la charge.

6. Évolution du courant électrique $i(t)$

Pendant la charge, en dérivant $u_C(t)$ ou en injectant la solution dans la loi des mailles, on trouve : $$i(t)=\frac{E}{R}{e}^{-t/\tau }$$ Le courant est maximal à la fermeture du circuit ($i(0)=E/R$) puis décroît exponentiellement vers zéro, car le condensateur cesse progressivement de se charger. Pendant la décharge, le courant garde la même forme exponentielle mais change de sens par rapport au sens choisi pour la charge, ce qui traduit le fait que le condensateur restitue l'énergie qu'il avait emmagasinée.

7. Aspects énergétiques

Le condensateur chargé sous la tension $u_C$ emmagasine une énergie électrique $E_c=\frac{1}{2}C{u}_C^2$, exprimée en joules (J). Lors de la charge complète à travers $R$, le générateur fournit une énergie totale $W=C{E}^2$ ; la moitié de cette énergie, soit $\frac{1}{2}C{E}^2$, est stockée dans le condensateur, tandis que l'autre moitié est dissipée par effet Joule dans la résistance, quelle que soit la valeur de $R$. Lors de la décharge, la totalité de l'énergie initialement stockée est intégralement dissipée par effet Joule dans la résistance.

8. Détermination expérimentale de la constante de temps

Deux méthodes graphiques permettent de déterminer $\tau$ à partir d'un enregistrement oscilloscopique de $u_C(t)$ : la méthode de la tangente à l'origine, qui consiste à tracer la tangente à $t=0$ et à lire l'abscisse de son intersection avec l'asymptote $u_C=E$ (cette abscisse vaut $\tau$) ; et la méthode des 63 %, qui consiste à repérer l'instant où $u_C$ atteint 63 % de $E$ (charge) ou 37 % de $E$ (décharge). Ces deux méthodes doivent, en principe, donner la même valeur de $\tau$.