1. Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme

On étudie le mouvement d'un point matériel (bille, boulet, balle...) de masse $m$, lancé avec une vitesse $\overrightarrow{v_0}$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale, dans une région où le champ de pesanteur $\vec{g}$ est supposé uniforme et où les frottements de l'air sont négligés. Le solide n'est alors soumis qu'à son poids $\vec{P}=m\vec{g}$. D'après la deuxième loi de Newton, l'accélération du centre d'inertie est $\vec{a}=\vec{g}$, constante, verticale et dirigée vers le bas. Le mouvement est donc uniformément accéléré selon la verticale et uniforme selon l'horizontale : c'est un mouvement plan, contenu dans le plan vertical défini par $\overrightarrow{v_0}$ et $\vec{g}$.

2. Équations horaires du mouvement du projectile

On choisit un repère $(O,x,y)$ avec $Ox$ horizontal et $Oy$ vertical ascendant, l'origine des temps étant prise au lancement. Les coordonnées de l'accélération sont $a_x=0$ et $a_y=-g$. Par intégrations successives, avec les conditions initiales $v_{0x}=v_0\cos \alpha$ et $v_{0y}=v_0\sin \alpha$, on obtient :

$$x(t)=v_0\cos \alpha \cdot ty(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_0\sin \alpha \cdot t$$

La composante horizontale $v_x=v_0\cos \alpha$ reste constante : le mouvement est uniforme selon $Ox$. La composante verticale $v_y(t)=-gt+v_0\sin \alpha$ diminue linéairement, s'annule au sommet puis devient négative.

3. Équation de la trajectoire du projectile — une parabole

En éliminant le temps entre les deux équations horaires ($t=\frac{x}{v_0\cos \alpha }$, injecté dans $y(t)$), on obtient l'équation cartésienne :

$$y(x)=-\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+\tan \alpha \cdot x$$

Cette relation, de la forme $y=A{x}^2+Bx$, montre que la trajectoire est une parabole de concavité tournée vers le bas, passant par l'origine O.

4. Portée et flèche du mouvement parabolique

La flèche $y_{max}$ est atteinte quand $v_y=0$, à l'instant $t_S=\frac{v_0\sin \alpha }{g}$ : $y_{max}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$. La portée $x_P$ s'obtient en résolvant $y(x_P)=0$ avec $x_P\ne 0$ : $x_P=\frac{v_0^2\sin (2\alpha )}{g}$. À $v_0$ fixée, la portée est maximale pour $\alpha =45°$.

5. Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

Une particule de charge $q$ et de masse $m$ pénètre avec une vitesse $\overrightarrow{v_0}$ perpendiculaire aux lignes de champ dans une région où règne un champ électrique uniforme $\vec{E}$ (condensateur plan). Elle subit la force électrique $\vec{F}=q\vec{E}$, à laquelle s'ajoute le poids $\vec{P}=m\vec{g}$. Pour une particule chargée (électron, proton, ion), la force électrique est très supérieure au poids ($\Vert \vec{F}\Vert \gg \Vert \vec{P}\Vert$), qui est donc systématiquement négligé. L'accélération $\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}$, uniforme, donne un mouvement analogue à celui du projectile pesant.

6. Équations horaires et trajectoire dans le champ électrique

Avec $Ox$ selon $\overrightarrow{v_0}$ et $Oy$ selon $\vec{E}$, on a $a_x=0$ et $a_y=\frac{qE}{m}$, d'où :

$$x(t)=v_{0}ty(t)=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^2$$

En éliminant $t$, l'équation de la trajectoire devient $y(x)=\frac{qE}{2m{v}_0^2}{x}^2$ : une parabole passant par O, orientée selon le signe de $q$ et le sens de $\vec{E}$.

7. Déviation électrique : déviation et angle de sortie

À la sortie d'une région de champ de longueur $L$, la déviation transversale et l'angle de sortie valent :

$$y_S=\frac{qE{L}^2}{2m{v}_0^2}\tan \theta =\frac{qEL}{m{v}_0^2}$$

Ce principe est exploité dans les tubes cathodiques et les spectromètres de masse.

8. Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Lorsqu'une particule de charge $q$ pénètre avec une vitesse $\vec{v}$ perpendiculaire à un champ magnétique uniforme $\vec{B}$, elle subit la force de Lorentz $\vec{F}=q\vec{v}\wedge \vec{B}$, (règle de la main droite). Cette force est à tout instant perpendiculaire à $\vec{v}$ : elle ne travaille jamais ($W(\vec{F})=0$), donc $v=v_0=\text{cste}$ : le mouvement est circulaire uniforme, contenu dans le plan perpendiculaire à $\vec{B}$.

9. Rayon et période du mouvement circulaire dans le champ magnétique

La force magnétique jouant le rôle de force centripète, la deuxième loi de Newton projetée sur la normale donne $|q|vB=\frac{m{v}^2}{r}$, d'où le rayon de la trajectoire :

$$r=\frac{mv}{|q|B}$$

La période de révolution, dite période cyclotron, s'en déduit : $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}$. Remarquablement, $T$ ne dépend pas de $v$ : toutes les particules de même rapport $\frac{m}{|q|}$ tournent avec la même période, quelle que soit leur énergie — propriété qui fonde le principe du cyclotron.