Loi de gravitation universelle

Isaac Newton énonce que deux corps ponctuels de masses $m_1$ et $m_2$, séparés d'une distance $d$, exercent l'un sur l'autre une force d'attraction $\vec{F}$ dirigée selon la droite qui joint leurs centres. Son intensité vaut $F=G\frac{m_1{m}_2}{d^2}$, où $G=6,67\times 10^{-11}{\text{ N.m}}^2/{\text{kg}}^2$ est la constante de gravitation universelle. Cette loi, rigoureuse pour des corps ponctuels, s'applique aussi à des astres à répartition sphérique et homogène de la masse, à condition que $d$ désigne la distance entre leurs centres.

Champ de gravitation créé par un astre

Un astre de masse $M$ et de rayon $R$ crée en tout point situé à une distance $r$ de son centre un champ de gravitation $\vec{g}(r)$, dirigé vers le centre, d'intensité $g(r)=G\frac{M}{r^2}$, homogène à une accélération (m/s²). À la surface de l'astre ($r=R$), ce champ correspond à l'intensité de la pesanteur $g_0=G\frac{M}{R^2}$. Pour un satellite en orbite à l'altitude $h$, on pose $r=R+h$ : le champ de gravitation diminue avec l'altitude.

Mouvement d'un satellite : étude dynamique

On étudie un satellite de masse $m$ en orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre de masse $M$, dans un référentiel supposé galiléen centré sur l'astre. Le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation $\vec{F}$, dirigée vers le centre. En appliquant la deuxième loi de Newton $\vec{F}=m\vec{a}$ et en projetant dans la base de Frenet (tangentielle, normale), on montre que la composante tangentielle de l'accélération est nulle, car $\vec{F}$ est purement radiale : la vitesse $v$ est donc constante et le mouvement est circulaire uniforme. L'accélération se réduit à sa composante normale (centripète), dirigée vers le centre, de valeur $a_N=\frac{v^2}{r}$.

Vitesse et période de révolution

En identifiant l'intensité de la force de gravitation à celle de l'accélération centripète, $G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$, on obtient la vitesse orbitale $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$, indépendante de la masse $m$ du satellite. La période de révolution $T$, durée d'un tour complet, vérifie $T=\frac{2\pi r}{v}$, ce qui donne, après substitution, $T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$. Plus l'altitude est grande, plus $r$ augmente, et plus la vitesse est faible et la période longue.

Troisième loi de Kepler

La troisième loi de Kepler énonce que, pour tous les satellites en orbite circulaire autour d'un même astre de masse $M$ (ou pour les planètes autour du Soleil), le rapport $\frac{T^2}{r^3}$ est une constante qui ne dépend que de la masse de l'astre attracteur : $\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$. Cette relation permet de comparer les mouvements de plusieurs satellites ou planètes sans connaître individuellement leur vitesse, ou de déterminer la masse de l'astre central à partir de mesures de $T$ et $r$.

Satellites géostationnaires

Un satellite est dit géostationnaire lorsqu'il paraît immobile pour un observateur terrestre : il doit décrire une orbite circulaire dans le plan équatorial, tourner dans le même sens que la Terre, et avoir une période égale à la période de rotation propre de la Terre, soit le jour sidéral $T\approx 86164\text{ s}$ (23 h 56 min 4 s). La troisième loi de Kepler impose alors un rayon orbital unique $r_{geo}\approx 4,22\times 10^7\text{ m}$, soit une altitude $h_{geo}\approx 3,58\times 10^4\text{ km}$, avec une vitesse $v_{geo}\approx 3,08\times 10^3\text{ m/s}$. Ces satellites sont utilisés pour les télécommunications et la diffusion télévisée.

Extension au mouvement des planètes

Les mêmes lois s'appliquent au mouvement des planètes autour du Soleil, en remplaçant la masse $M$ de la Terre par la masse du Soleil $M_S$. Chaque planète décrit, en première approximation, une trajectoire quasi circulaire de rayon $r$, avec une vitesse $v=\sqrt{\frac{G{M}_S}{r}}$ et une période $T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G{M}_S}}$. La troisième loi de Kepler, établie historiquement à partir de l'observation des planètes, montre que $\frac{T^2}{r^3}$ est identique pour toutes les planètes du système solaire, ce qui a permis de vérifier la loi de gravitation universelle de Newton.