1. Rappels sur la cinématique de rotation

Un solide est en rotation autour d'un axe fixe (Δ) si tous ses points décrivent des cercles centrés sur cet axe. Le mouvement est repéré par l'abscisse angulaire $\theta (t)$ (rad), la vitesse angulaire $\omega =\frac{d\theta }{dt}$ (rad.s${}^{-1}$) et l'accélération angulaire ${\theta }^{\prime \prime }=\frac{d\omega }{dt}$ (rad.s${}^{-2}$). À un instant donné, tous les points ont la même $\omega$, mais des vitesses linéaires $v=R\omega$ différentes selon leur distance $R$ à l'axe.

2. Moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe

Le moment d'inertie $J_{\Delta }$ traduit la répartition de la masse d'un solide par rapport à un axe (Δ) : c'est l'équivalent, en rotation, de la masse en translation, caractérisant la résistance du solide à une variation de $\omega$. Pour un système de points matériels de masses $m_i$ à des distances $r_i$ de l'axe : $$J_{\Delta }=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$ Pour un solide continu, $J_{\Delta }=\int r^{2}dm$, exprimé en kg.m${}^2$. Plus la masse est éloignée de l'axe, plus $J_{\Delta }$ est grand.

3. Moments d'inertie de solides usuels et théorème de Huygens

Pour les solides homogènes simples, le moment d'inertie par rapport à un axe de symétrie est tabulé : cylindre (ou disque) plein de rayon $R$, $J=\frac{1}{2}M{R}^2$ ; cerceau (ou anneau mince) de rayon $R$, $J=M{R}^2$ ; tige mince de longueur $L$, axe perpendiculaire passant par le centre, $J=\frac{1}{12}M{L}^2$ ; sphère pleine de rayon $R$, $J=\frac{2}{5}M{R}^2$. Si l'axe (Δ) ne passe pas par le centre d'inertie $G$ mais lui est parallèle à une distance $d$, le théorème de Huygens donne : $$J_{\Delta }=J_G+M{d}^2$$ Pour un solide composé, $J_{\Delta }$ total est la somme des $J_{\Delta }$ de chaque partie.

4. Moment d'une force par rapport à un axe fixe

Le moment d'une force $\vec{F}$ par rapport à un axe (Δ) mesure son efficacité à faire tourner le solide. Si $\vec{F}$ est appliquée dans un plan perpendiculaire à (Δ), son moment est $$M_{\Delta }(\vec{F})=\pm F\times d$$ où $d$ est le bras de levier, distance entre l'axe (Δ) et la droite d'action de $\vec{F}$. Le signe est positif si $\vec{F}$ tend à faire tourner le solide dans le sens choisi comme positif. Le moment s'exprime en N.m. Pour une force tangentielle à un cercle de rayon $r$, $d=r$ et $M_{\Delta }(\vec{F})=\pm Fr$. Le moment est nul si la droite d'action coupe l'axe.

5. Relation fondamentale de la dynamique de rotation (PFD en rotation)

Pour un solide en rotation autour de (Δ), la relation fondamentale de la dynamique de rotation relie la somme des moments des forces extérieures à l'accélération angulaire : $$\sum M_{\Delta }({\vec{F}}_{ext})=J_{\Delta }\times {\theta }^{\prime \prime }$$ Cette relation est l'analogue rotationnel de $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ : $J_{\Delta }$ joue le rôle de la masse, le moment des forces joue le rôle de la force, et ${\theta }^{\prime \prime }$ joue le rôle de l'accélération linéaire. Un solide au repos se met en rotation ssi la somme des moments des forces extérieures par rapport à l'axe est non nulle.

6. Moment cinétique d'un solide en rotation

Le moment cinétique d'un solide en rotation autour de (Δ) est $$L_{\Delta }=J_{\Delta }\times \omega$$ exprimé en kg.m${}^2$.s${}^{-1}$. La relation fondamentale de la dynamique de rotation s'écrit alors, de façon équivalente (théorème du moment cinétique) : $$\frac{d{L}_{\Delta }}{dt}=\sum M_{\Delta }({\vec{F}}_{ext})$$ Si la somme des moments extérieurs est nulle à chaque instant, le moment cinétique se conserve : $L_{\Delta }=\text{constante}$, (patineuse qui tourne plus vite en resserrant ses bras : diminution de $J_{\Delta }$ et augmentation de $\omega$).

7. Énergie cinétique de rotation et théorème de l'énergie cinétique

Un solide en rotation autour de (Δ) avec la vitesse angulaire $\omega$ possède une énergie cinétique de rotation : $$E_c=\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\omega }^2$$ exprimée en joules (J). Le théorème de l'énergie cinétique s'applique en rotation comme en translation : la variation d'énergie cinétique égale la somme des travaux des forces extérieures : $$\Delta E_c=E_{c,f}-E_{c,i}=\sum W({\vec{F}}_{ext})$$ Ce théorème permet de trouver la vitesse angulaire finale sans connaître le détail de ${\theta }^{\prime \prime }(t)$.

8. Travail et puissance d'un moment de force

Lorsqu'un solide tourne d'un angle $\Delta \theta$ (rad) sous l'action d'un moment de force constant $M_{\Delta }(\vec{F})$, le travail vaut $$W(\vec{F})=M_{\Delta }(\vec{F})\times \Delta \theta$$ et la puissance instantanée associée est $$P=M_{\Delta }(\vec{F})\times \omega$$ exprimée en watts (W). Ces expressions sont les analogues rotationnels de $W=F\times d$ et $P=F\times v$ : le moment de force remplace la force, l'angle balayé (ou $\omega$) remplace la distance (ou la vitesse).