1. Qu'est-ce qu'un oscillateur mécanique ?

Un oscillateur mécanique est un système matériel qui, écarté de sa position d'équilibre stable puis abandonné à lui-même, effectue un mouvement périodique autour de cette position. Sans frottement, les oscillations sont libres non amorties : elles se répètent avec une période propre $T_0$, indépendante de l'amplitude (isochronisme). On étudie deux oscillateurs fondamentaux : le pendule élastique (masse-ressort) et le pendule pesant (solide oscillant sous son propre poids autour d'un axe fixe).

2. Le pendule élastique horizontal

Un solide $(S)$ de masse $m$, assimilable à un point matériel, est fixé à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives de raideur $k$, de masse négligeable, glissant sans frottement sur un plan horizontal. On repère sa position par l'abscisse $x$ depuis la position d'équilibre $O$ (ressort ni étiré ni comprimé). La force de rappel s'écrit $\vec{F}=-kx\vec{i}$ : elle est dirigée vers $O$.

3. Équation différentielle et pulsation propre

En appliquant la deuxième loi de Newton au solide, projetée sur l'axe horizontal $(Ox)$ :

$$m\ddot{x}+kx=0\text{soit}\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$

C'est l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique. En posant ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, la pulsation propre (rad.s${}^{-1}$), l'équation devient $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$, de solution $x(t)=X_m\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$, où $X_m$ (m) est l'amplitude et $\phi$ (rad) la phase à l'origine, fixées par $x(0)$ et $\dot{x}(0)$. La période propre est $T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

4. Le pendule élastique vertical

Le ressort disposé verticalement porte le solide à son extrémité inférieure : la position d'équilibre $O$ n'est plus celle du ressort au repos, le poids l'étirant d'un allongement $\Delta l_0$ tel que $k\Delta l_0=mg$. En repérant l'élongation $y$ depuis cette nouvelle position d'équilibre, poids et tension se compensent à l'équilibre, si bien que l'équation différentielle conserve la même forme : $\ddot{y}+\frac{k}{m}y=0$, avec la même pulsation propre ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$. Le pendule vertical oscille donc avec la même période propre que le pendule horizontal.

5. Énergie mécanique du pendule élastique

En l'absence de frottement, le pendule élastique est un système conservatif : son énergie mécanique, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique, se conserve au cours du temps :

$$E_m=E_c+E_{pe}=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{X}_m^2=\text{constante}$$

L'énergie cinétique est maximale ($v_{max}=X_m{\omega }_0$) au passage par $O$ ; l'énergie potentielle élastique est maximale aux points d'élongation extrémale $x=\pm X_m$, où la vitesse s'annule.

6. Le pendule pesant

Un pendule pesant est un solide de masse $m$ mobile sans frottement autour d'un axe fixe horizontal $(\Delta )$ ne passant pas par son centre d'inertie $G$. On repère sa position par l'angle $\theta$ entre la verticale descendante et $(\Delta G)$, avec $J_{\Delta }$ le moment d'inertie par rapport à $(\Delta )$ et $a$ la distance entre l'axe et $G$. Le théorème du moment cinétique (seul le moment du poids intervient) donne l'équation différentielle exacte : $J_{\Delta }\ddot{\theta }+mga\sin \theta =0$.

7. Petites oscillations et pendule simple

Pour de petites oscillations (${\theta }_m<15°$), l'approximation $\sin \theta \approx \theta$ (radians) linéarise l'équation différentielle : $\ddot{\theta }+\frac{mga}{J_{\Delta }}\theta =0$. On retrouve un oscillateur harmonique de pulsation propre ${\omega }_0=\sqrt{\frac{mga}{J_{\Delta }}}$ et de période propre $T_0=2\pi \sqrt{\frac{J_{\Delta }}{mga}}$, de solution $\theta (t)={\theta }_m\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$. Le pendule simple (masse ponctuelle $m$ au bout d'un fil de longueur $L$, masse négligeable) correspond à $J_{\Delta }=m{L}^2$, $a=L$, d'où $T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, indépendante de $m$.

8. Analogie électromécanique

L'équation du pendule élastique, $\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$, est identique à celle régissant la charge $q$ d'un condensateur dans un circuit $LC$ non amorti : $\ddot{q}+\frac{1}{LC}q=0$. Cette analogie associe $x\leftrightarrow q$, $\dot{x}\leftrightarrow i$, $m\leftrightarrow L$, $k\leftrightarrow 1/C$. L'énergie potentielle élastique $\frac{1}{2}k{x}^2$ correspond à l'énergie électrique $\frac{1}{2C}{q}^2$, et l'énergie cinétique $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$ correspond à l'énergie magnétique $\frac{1}{2}L{i}^2$, la pulsation propre du circuit étant ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.