Énergie cinétique de l'oscillateur

Un oscillateur mécanique en mouvement possède une énergie cinétique liée à sa vitesse instantanée $v(t)$. Pour un pendule élastique horizontal, une masse $m$ glisse le long d'un axe, son élongation par rapport à la position d'équilibre étant repérée par $x(t)$, avec $v(t)=\frac{dx}{dt}$. L'énergie cinétique s'écrit $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2$, exprimée en joules (J). Elle est maximale lors du passage par la position d'équilibre $x=0$, où la vitesse atteint sa valeur maximale $V_m$, et elle s'annule aux points de rebroussement $x=\pm X_m$, où le mobile change instantanément de sens.

Énergie potentielle élastique

Un ressort déformé, de raideur $k$ (en N/m), emmagasine une énergie potentielle élastique qui ne dépend que de son allongement ou de sa compression $x$ par rapport à la longueur à l'équilibre : $E_{pe}=\frac{1}{2}k{x}^2$, exprimée en joules. Cette énergie est nulle à la position d'équilibre ($x=0$) et maximale aux points de rebroussement ($x=\pm X_m$), où $E_{pe}=\frac{1}{2}k{X}_m^2$. Elle ne dépend ni du sens du déplacement, ni de la vitesse du mobile, uniquement de la position instantanée.

Énergie potentielle de torsion

Pour un pendule de torsion, un solide de moment d'inertie $J$ (en kg·m²) est suspendu à un fil vertical de constante de torsion $C$ (en N·m/rad). L'écart angulaire $\theta (t)$ par rapport à la position d'équilibre engendre une énergie potentielle de torsion $E_{pe}=\frac{1}{2}C{\theta }^2$, analogue à l'énergie élastique de translation. Le comportement énergétique de ce pendule est formellement identique à celui du pendule élastique horizontal, à condition de remplacer $x$ par $\theta$, $m$ par $J$ et $k$ par $C$.

Énergie mécanique de l'oscillateur harmonique

L'énergie mécanique de l'oscillateur est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle élastique : $E_m=E_c+E_{pe}=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$. En reportant la solution harmonique $x(t)=X_m\cos \left(\frac{2\pi }{T_0}t+\phi \right)$, avec la pulsation propre ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$, on montre que $E_m=\frac{1}{2}k{X}_m^2=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{X}_m^2$, une grandeur constante, indépendante du temps. Cette énergie mécanique caractérise directement l'amplitude des oscillations : plus $X_m$ est grand, plus l'énergie totale emmagasinée par l'oscillateur est importante.

Conservation de l'énergie mécanique en l'absence de frottement

En l'absence de frottement, la seule force qui travaille sur l'oscillateur est la force de rappel élastique $\vec{F}=-k\vec{x}$, qui est une force conservative. Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'oscillateur conduit alors à la conservation de l'énergie mécanique : $E_m(t)=\text{constante}$, à tout instant $t$. On dit que l'oscillateur est en régime libre non amorti, ou en oscillation harmonique.

Échanges entre énergie cinétique et énergie potentielle

Bien que l'énergie mécanique totale reste constante, sa répartition entre forme cinétique et forme potentielle varie continuellement au cours du mouvement. Au passage par la position d'équilibre ($x=0$), toute l'énergie est cinétique : $E_c=E_m$ et $E_{pe}=0$, la vitesse étant alors maximale, $V_m=X_m{\omega }_0$. Aux points de rebroussement ($x=\pm X_m$), toute l'énergie est potentielle : $E_{pe}=E_m$ et $E_c=0$. Entre ces deux positions extrêmes, il existe un échange continu et périodique entre les deux formes d'énergie, leur somme restant constante à chaque instant.

Oscillations amorties et dissipation d'énergie

En réalité, des forces de frottement (visqueux dans un fluide, solide au contact d'un support) s'exercent sur l'oscillateur. Ces forces non conservatives effectuent un travail toujours résistant (négatif). L'énergie mécanique n'est alors plus constante : elle diminue progressivement au cours du temps. Entre deux instants $t_1$ et $t_2$, la variation de l'énergie mécanique est égale au travail des forces de frottement, $\Delta E_m=E_m(t_2)-E_m(t_1)=W(\vec{f})<0$. L'énergie perdue par le système est dissipée sous forme de chaleur par frottement. On observe alors une diminution progressive de l'amplitude des oscillations au cours du temps : le régime est dit pseudo-périodique amorti.

Régimes d'amortissement

Selon l'intensité des frottements, on distingue le régime pseudo-périodique (frottement faible), où le système oscille avec une amplitude décroissante jusqu'à l'arrêt, et le régime apériodique (frottement fort), où le système revient à l'équilibre sans osciller. Dans tous les cas, l'énergie mécanique initiale est finalement entièrement dissipée.