Angle au centre et angle inscrit — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

الزاوية المركزية والزاوية المحيطية

في هذا الفصل، ندرس الزوايا الخاصة المرتبطة بالدائرة. سنكتشف علاقة مهمة جداً تربط بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية، ثم سنستخدمها لحل مسائل هندسية.

1. الدائرة، القوس والوتر

تعريف

الدائرة ذات المركز $O$ ونصف القطر $r$ هي مجموعة النقط التي تبعد بمسافة $r$ عن النقطة $O$ . نرمز لها بـ $C (O; r)$ .

لنعتبر نقطتين $A$ و $B$ على دائرة مركزها $O$ .

القطعة $[A B]$ التي تربط بين هاتين النقطتين تسمى وتراً.
النقطتان $A$ و $B$ تقسمان الدائرة إلى جزأين يسميان قوسين. نرمز للقوس بـ $A B ⌢$ . يوجد قوس صغير وقوس كبير.
الوتر الذي يمر بالمركز $O$ يسمى قطراً: وهو أكبر وتر ممكن، وطوله يساوي $2 r$ .

2. الزاوية المركزية

تعريف

الزاوية المركزية هي زاوية رأسها المركز $O$ للدائرة. ضلعاها يقطعان الدائرة في نقطتين $A$ و $B$ . نرمز لها بـ $A O B$ .

نقول إن الزاوية المركزية $A O B$ تحصر القوس $A B ⌢$ : وهو القوس الواقع "داخل" الزاوية، بين الضلعين.

3. الزاوية المحيطية

تعريف

الزاوية المحيطية في دائرة هي زاوية رأسها $M$ يقع على الدائرة وضلعاها وتران من الدائرة. نرمز لها بـ $A M B$ ، حيث $A$ و $B$ و $M$ ثلاث نقط من الدائرة.

الزاوية المحيطية $A M B$ تحصر القوس $A B ⌢$ الذي لا يحتوي على النقطة $M$ (القوس "المقابل" للرأس).

4. العلاقة الأساسية: الزاوية المركزية والزاوية المحيطية

هذه هي الخاصية الأكثر أهمية في الفصل. عندما تحصر الزاوية المركزية والزاوية المحيطية نفس القوس، فإنهما مرتبطتان بعلاقة بسيطة.

خاصية

إذا كانت زاوية مركزية $A O B$ وزاوية محيطية $A M B$ تحصران نفس القوس $A B ⌢$ ، فإن الزاوية المركزية هي ضعف الزاوية المحيطية.

A O B = 2 \times A M B

بعبارة أخرى، الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية:

A M B = \frac{A O B}{2}

5. الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس

خاصية

زاويتان محيطيتان في نفس الدائرة تحصران نفس القوس تكونان متساويتين.

إذا كانت $M$ و $N$ نقطتين من الدائرة تقعان في نفس الجهة من الوتر $[A B]$ ، فإن:

A M B = A N B

في الواقع، هاتان الزاويتان المحيطيتان تساوي كل منهما نصف نفس الزاوية المركزية $A O B$ : إذن هما متساويتان بالضرورة.

6. حالة خاصة: الزاوية المحيطية في نصف دائرة

خاصية

إذا كانت زاوية محيطية تحصر قطراً (أي إذا كان $[A B]$ قطراً للدائرة)، فإن هذه الزاوية هي زاوية قائمة.

A M B = 9 0^{\circ}

التفسير: إذا كان $[A B]$ قطراً، فإن الزاوية المركزية $A O B$ هي زاوية مستقيمة، إذن $A O B = 18 0^{\circ}$ . الزاوية المحيطية تساوي النصف: $\frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}$ . وبالتالي، كل مثلث أحد أضلاعه قطر ورأسه الثالث على الدائرة هو مثلث قائم الزاوية.

7. الرباعي القابل للإحاطة

تعريف

رباعي يقال عنه قابل للإحاطة عندما تنتمي رؤوسه الأربعة إلى نفس الدائرة.

خاصية

في رباعي قابل للإحاطة $A B C D$ ، الزوايا المتقابلة تكون متتامة (مجموعهما يساوي $18 0^{\circ}$ ).

A + C = 18 0^{\circ} et B + D = 18 0^{\circ}

8. المضلعات المنتظمة والزوايا

تعريف

المضلع المنتظم هو مضلع جميع أضلاعه لها نفس الطول وجميع زواياه لها نفس القيس. رؤوسه موزعة بانتظام على دائرة (الدائرة المحيطة) مركزها $O$ .

بالنسبة لمضلع منتظم له $n$ ضلعاً، الرؤوس تقسم الدائرة إلى $n$ قوساً متساوياً. الزاوية المركزية المرتبطة بكل ضلع تساوي إذن:

A O B = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

على سبيل المثال، بالنسبة لمثلث متساوي الأضلاع ( $n = 3$ )، كل زاوية مركزية تساوي $\frac{36 0 ^{\circ}}{3} = 12 0^{\circ}$ . بالنسبة لمربع ( $n = 4$ )، تساوي $\frac{36 0 ^{\circ}}{4} = 9 0^{\circ}$ . بالنسبة لسداسي منتظم ( $n = 6$ )، تساوي $\frac{36 0 ^{\circ}}{6} = 6 0^{\circ}$ .

أمثلة محلولة

مثال 1: استخدام العلاقة الأساسية

المعطيات. ثلاث نقط $A$ و $B$ و $M$ على دائرة مركزها $O$ . نعلم أن الزاوية المحيطية $A M B = 3 5^{\circ}$ . احسب الزاوية المركزية $A O B$ التي تحصر نفس القوس $A B ⌢$ .

الحل. الزاوية المركزية هي ضعف الزاوية المحيطية عندما تحصران نفس القوس:

A O B = 2 \times A M B = 2 \times 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}

الزاوية المركزية قيسها إذن $7 0^{\circ}$ .

مثال 2: مثلث محاط بنصف دائرة

المعطيات. $[A B]$ قطر لدائرة مركزها $O$ ، و $M$ نقطة من الدائرة مختلفة عن $A$ و $B$ . معطى $M A B = 2 8^{\circ}$ . احسب الزاويتين $A M B$ و $A B M$ للمثلث $A M B$ .

الحل. بما أن $[A B]$ قطر، فإن الزاوية المحيطية $A M B$ تحصر هذا القطر: إذن هي قائمة.

A M B = 9 0^{\circ}

مجموع زوايا المثلث يساوي $18 0^{\circ}$ ، إذن:

A B M = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}

المثلث $A M B$ قائم الزاوية في $M$ ، و $A B M = 6 2^{\circ}$ .

📈 Figure clé

Angle au centre

A O B

et angle inscrit

A M B

A O B = 2 A M B

🔑 Formules clés à retenir

$A O B = 2 \times A M B$ — الزاوية المركزية هي ضعف الزاوية المحيطية التي تحصر نفس القوس
$A M B = \frac{A O B}{2}$ — الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس
$A M B = A N B$ — زاويتان محيطيتان تحصران نفس القوس متساويتان
$A M B = 9 0^{\circ}$ — زاوية محيطية تحصر قطراً (مثلث قائم الزاوية)
$A + C = 18 0^{\circ}$ — زاويتان متقابلتان في رباعي قابل للإحاطة (متتامتان)
$B + D = 18 0^{\circ}$ — الزوج الآخر من الزوايا المتقابلة في رباعي قابل للإحاطة
$A O B = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ — زاوية مركزية لمضلع منتظم له $n$ ضلعاً
$d = 2 r$ — طول القطر، حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

خطأ: الخلط بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية. أحياناً نكتب $A M B = 2 \times A O B$ : هذا عكس الصحيح! الزاوية المركزية (رأسها $O$ ) هي الضعف، والزاوية المحيطية (رأسها على الدائرة) هي النصف.

❌

خطأ: تطبيق العلاقة $A O B = 2 \times A M B$ بينما الزاويتان لا تحصران نفس القوس. تحقق دائماً من أن نفس القوس $A B ⌢$ هو المحصور.

✅

للتعرف بسرعة على زاوية قائمة، ابحث عن قطر في الشكل. بمجرد أن يكون لمثلث ضلع هو قطر ورأسه الثالث على الدائرة، فهو قائم الزاوية في هذا الرأس: $A M B = 9 0^{\circ}$ .

✅

لمعرفة أي قوس تحصره زاوية محيطية، حدد الرأس وانظر إلى القوس الواقع "مقابله"، الذي لا يحتوي على الرأس.

💡

في رباعي قابل للإحاطة، إذا كنت تعرف زاوية، تجد مباشرة الزاوية المقابلة: يكفي حساب $18 0^{\circ}$ ناقص الزاوية المعلومة، لأن الزوايا المتقابلة متتامة.

💡

حيلة للتذكر: "في المركز هو الضعف". المركز $O$ هو رأس الزاوية "الأكبر" (الضعف)، ونقطة على الدائرة تعطي الزاوية "الأصغر" (النصف).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Angle au centre et angle inscrit

Type 1 : Reconnaître un angle au centre et un angle inscrit

Quand ? Quand on doit identifier la nature d'un angle dans un cercle.

Repère le sommet de l'angle : s'il est au centre du cercle, c'est un angle au centre.
Si le sommet est sur le cercle, c'est un angle inscrit.
Identifie l'arc intercepté : les deux côtés de l'angle coupent le cercle en deux points qui délimitent cet arc.

Exemple éclair : $A O B$ avec $O$ le centre est un angle au centre ; $A M B$ avec $M$ sur le cercle est un angle inscrit.

Type 2 : Calculer l'angle au centre à partir de l'angle inscrit

Quand ? Quand un angle inscrit et l'angle au centre interceptent le même arc.

Vérifie que les deux angles interceptent le même arc.
Applique : l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit.
Calcule $A O B = 2 \times A M B$ .

Exemple éclair : si $A M B = 4 0^{\circ}$ , alors $A O B = 8 0^{\circ}$ .

Type 3 : Calculer l'angle inscrit à partir de l'angle au centre

Quand ? Quand on connaît l'angle au centre et qu'on cherche l'angle inscrit du même arc.

Vérifie que les deux angles interceptent le même arc.
Applique : l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre.
Calcule $A M B = \frac{A O B}{2}$ .

Exemple éclair : si $A O B = 10 0^{\circ}$ , alors $A M B = 5 0^{\circ}$ .

Type 4 : Utiliser deux angles inscrits qui interceptent le même arc

Quand ? Quand deux angles inscrits interceptent le même arc du cercle.

Vérifie que les deux angles sont inscrits dans le même cercle.
Vérifie qu'ils interceptent le même arc.
Conclus qu'ils sont égaux.

Exemple éclair : si $A M B$ et $A N B$ interceptent l'arc $A B$ , alors $A M B = A N B$ .

Type 5 : Calculer l'angle inscrit dans un demi-cercle

Quand ? Quand l'angle inscrit intercepte un diamètre du cercle.

Repère que les deux extrémités de l'arc forment un diamètre (l'angle au centre vaut $18 0^{\circ}$ ).
Applique la propriété de l'angle inscrit : il vaut la moitié de $18 0^{\circ}$ .
Conclus que l'angle inscrit est droit, soit $9 0^{\circ}$ .

Exemple éclair : si $[A B]$ est un diamètre et $M$ est sur le cercle, alors $A M B = 9 0^{\circ}$ .

Angle au centre et angle inscrit — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 6 corrigés

Exercices Faciles

3 exercices

Deux angles inscrits à partir d'un angle au centre

Facile

Énoncé

$(C)$ دائرة مركزها $O$ . النقط $A$ و $E$ و $B$ و $D$ تنتمي إلى هذه الدائرة. قيس الزاوية المركزية $A O B$ التي تحصر القوس الصغير $A B$ (القوس الذي يحتوي على النقطة $E$ ) يساوي $8 0^{\circ}$ .

تقع النقطة $D$ على القوس الكبير $A B$ (في الجهة الأخرى من الوتر $[A B]$ بالنسبة إلى $E$ ).

حدد، مع التبرير، قيس الزاوية المحيطية $A D B$ .
حدد، مع التبرير، قيس الزاوية المحيطية $A E B$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

De l'angle inscrit vers l'angle au centre

Facile

Énoncé

$(C)$ دائرة مركزها $O$ . النقط $A$ و $B$ و $C$ و $M$ تنتمي إلى هذه الدائرة. الزاوية المحيطية $B A C$ تحصر القوس $B C$ ولدينا $B A C = 6 5^{\circ}$ .

احسب قيس الزاوية المحيطية $B M C$ .
بين أن $B O C = 13 0^{\circ}$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Reconnaître angle au centre et angle inscrit

Facile

Énoncé

نعتبر دائرة مركزها $O$ .

أعط تعريف الزاوية المركزية، ثم تعريف الزاوية المحيطية.
زاوية مركزية قياسها $11 0^{\circ}$ . ما هو قياس الزاوية المحيطية التي تحصر نفس القوس؟
زاوية محيطية قياسها $3 5^{\circ}$ . ما هو قياس الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس؟

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

2 exercices

Angle au centre, triangle isocèle et tangente

Intermédiaire

Énoncé

$(C)$ دائرة مركزها $O$ . المستقيم $(A M)$ مماس للدائرة في النقطة $A$ . النقطة $C$ تنتمي إلى الدائرة والزاوية المركزية تحقق $A O C = 6 0^{\circ}$ .

احسب، مع التبرير، قيس الزاوية $O C A$ .
احسب، مع التبرير، قيس الزاوية $C A M$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Angle inscrit dans un demi-cercle

Intermédiaire

Énoncé

$(C)$ دائرة مركزها $O$ وقطرها $[A B]$ . النقطتان $C$ و $D$ تنتميان إلى الدائرة $(C)$ ولدينا $D C B = 4 2^{\circ}$ .

احسب قيس الزاوية $D A B$ .
بين أن $D O B = 8 4^{\circ}$ .
احسب قيس الزاوية $A C D$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Difficiles

1 exercices

Deux diamètres et arcs opposés

Difficile

Énoncé

$(C)$ دائرة مركزها $O$ . القطعتان $[A B]$ و $[C D]$ قطران للدائرة. النقط $M$ و $N$ و $E$ تنتمي إلى الدائرة، ومعطى الزاوية المحيطية $A M D = 4 2^{\circ}$ .

أوجد قيس الزاوية المركزية $A O D$ .
أوجد قيس الزاوية المحيطية $A N D$ .
أوجد قيس الزاوية المحيطية $C E B$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Angle au centre et angle inscrit

Angle au centre et angle inscrit — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الزاوية المركزية والزاوية المحيطية

1. الدائرة، القوس والوتر

تعريف

2. الزاوية المركزية

تعريف

3. الزاوية المحيطية

تعريف

4. العلاقة الأساسية: الزاوية المركزية والزاوية المحيطية

خاصية

5. الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس

خاصية

6. حالة خاصة: الزاوية المحيطية في نصف دائرة

خاصية

7. الرباعي القابل للإحاطة

تعريف

خاصية

8. المضلعات المنتظمة والزوايا

تعريف

أمثلة محلولة

مثال 1: استخدام العلاقة الأساسية

مثال 2: مثلث محاط بنصف دائرة

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Angle au centre et angle inscrit

Type 1 : Reconnaître un angle au centre et un angle inscrit

Type 2 : Calculer l'angle au centre à partir de l'angle inscrit

Type 3 : Calculer l'angle inscrit à partir de l'angle au centre

Type 4 : Utiliser deux angles inscrits qui interceptent le même arc

Type 5 : Calculer l'angle inscrit dans un demi-cercle

Angle au centre et angle inscrit — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Deux angles inscrits à partir d'un angle au centre

De l'angle inscrit vers l'angle au centre

Reconnaître angle au centre et angle inscrit

Exercices Intermédiaires

Angle au centre, triangle isocèle et tangente

Angle inscrit dans un demi-cercle

Exercices Difficiles

Deux diamètres et arcs opposés

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Angle au centre et angle inscrit

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone