الترتيب والعمليات

في هذا الفصل، نتعلم مقارنة الأعداد الكسرية ومعرفة ما يحدث للمتباينات عندما نجمع أو نضرب أو نطبق عمليات أخرى. نكتشف أيضًا الحصر والقيمة المطلقة.

1. مقارنة عددين كسريين

لمقارنة كسرين، نوحد المقام (موجب)، ثم نقارن البسطين.

مثال محلول 1

لنقارن $\frac{3}{4}$ و $\frac{5}{7}$.

المقام الموحد $28$: $\frac{3}{4}=\frac{21}{28}$ و $\frac{5}{7}=\frac{20}{28}$.

بما أن $21>20$، فإن $\frac{3}{4}>\frac{5}{7}$.

2. الترتيب والجمع

مثال: $2<5$، إذن بإضافة $3$: $5<8$. الجهة تبقى نفسها.

3. الترتيب والضرب

مثال محلول 2

ننطلق من $-3<4$.

• لنضرب في $2$ (موجب): $-6<8$. الجهة محفوظة.
• لنضرب في $-2$ (سالب): $6>-8$. الجهة منعكسة.

4. الترتيب والأعداد المعاكسة / المقلوبة

مثال: $2<5$ يعطي $-2>-5$.

مثال: $2<5$، إذن $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$.

5. حصر مجموع، فرق، جداء

مثال: إذا كان $3<x<5$ و $1<y<2$، فإن $4<x+y<7$ و $1<x-y<4$.

بالنسبة لجداء أعداد موجبة: إذا كان $a<x<b$ و $c<y<d$ مع الجميع موجب، فإن $a\times c<x\times y<b\times d$.

6. القيمة المطلقة والمسافة

أمثلة: $|5|=5$، $|-7|=7$، $|0|=0$.

مثال: المسافة بين $-3$ و $4$ هي $|4-(-3)|=|7|=7$.

7. الترتيب والقوى

مثال: $2<3$، إذن $2^2<3^2$، أي $4<9$.

انتبه مع الأعداد بين $0$ و $1$: $0<a<1$ يعطي $a^2<a$. مثلاً ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$.