Équation d'une droite — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

معادلة مستقيم

في معلم المستوى، يمكن وصف أي مستقيم بمعادلة. معرفة معادلة المستقيم تسمح برسمه، وتوقع النقاط التي تنتمي إليه ومقارنة عدة مستقيمات فيما بينها.

1. المعادلة المختزلة لمستقيم

تعريف

في معلم، يقبل مستقيم غير موازٍ لمحور الأراتيب معادلة من الشكل:

$y = a x + b$

تسمى هذه المعادلة المعادلة المختزلة للمستقيم. العدد $a$ هو المعامل الموجه (أو الميل) والعدد $b$ هو الإحداثي الأصلي.

نقطة $M (x; y)$ تنتمي إلى المستقيم إذا وفقط إذا كانت إحداثياتها تحقق المعادلة $y = a x + b$ .

2. معنى $a$ و $b$

الإحداثي الأصلي $b$

الإحداثي الأصلي $b$ هو إحداثي النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الأراتيب. هذه النقطة إحداثياتها $(0; b)$ .

فعلاً، إذا كان $x = 0$ فإن $y = a \times 0 + b = b$ .

المعامل الموجه $a$

المعامل الموجه $a$ يشير إلى ميل المستقيم: عندما نتقدم بـ $1$ وحدة نحو اليمين (الإحداثي السيني يزداد بـ $1$ )، يتغير الإحداثي الصادي بـ $a$ .

إذا كان $a > 0$ : المستقيم "يصعد" (دالة متزايدة).
إذا كان $a < 0$ : المستقيم "ينزل" (دالة متناقصة).
إذا كان $a = 0$ : المستقيم أفقي.

3. حساب المعامل الموجه انطلاقاً من نقطتين

خاصية

ليكن مستقيم يمر بنقطتين $A (x_{A}; y_{A})$ و $B (x_{B}; y_{B})$ حيث $x_{A} \neq = x_{B}$ . معامله الموجه هو:

$a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$

نحسب إذن تغير الأراتيب مقسوماً على تغير الأفاصيل. ترتيب النقاط ليس مهماً، شريطة كتابة الإحداثيات بنفس الترتيب في البسط والمقام.

a = \frac{تغير y}{تغير x} = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

4. مستقيمات خاصة

تعريف

مستقيم موازٍ لمحور الأفاصيل (أفقي) له معادلة من الشكل:

$y = b$

جميع نقاطه لها نفس الإحداثي الصادي $b$ . معامله الموجه هو $a = 0$ .

تعريف

مستقيم موازٍ لمحور الأراتيب (عمودي) له معادلة من الشكل:

$x = c$

جميع نقاطه لها نفس الإحداثي السيني $c$ . هذا المستقيم ليس له معامل موجه ولا يمكن كتابته على الشكل $y = a x + b$ .

5. تحديد معادلة مستقيم يمر بنقطتين

لإيجاد المعادلة المختزلة $y = a x + b$ لمستقيم يمر بنقطتين معطاتين، نتبع خطوتين:

نحسب المعامل الموجه $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .
نجد $b$ بتعويض $x$ و $y$ بإحداثيات إحدى النقطتين في المعادلة $y = a x + b$ .

6. شرط توازي مستقيمين

خاصية

مستقيمان بمعادلتين $y = a x + b$ و $y = a^{'} x + b^{'}$ متوازيان إذا وفقط إذا كان لهما نفس المعامل الموجه:

$a = a^{'}$

إذا كان بالإضافة إلى ذلك $b = b^{'}$ ، فالمستقيمان متطابقان (نفس المستقيم). إذا كان $a = a^{'}$ و $b \neq = b^{'}$ ، فهما متوازيان تماماً.

7. القراءة البيانية

انطلاقاً من رسم مستقيم، يمكننا قراءة معادلته:

نقرأ $b$ : هو إحداثي نقطة التقاطع مع محور الأراتيب.
نقرأ $a$ : بالانطلاق من نقطة على المستقيم، نتقدم بـ $1$ نحو اليمين ونعد كم نصعد ( $a > 0$ ) أو ننزل ( $a < 0$ ).

8. أمثلة محلولة

مثال 1: قراءة واستعمال معادلة

ليكن المستقيم $(D)$ بمعادلة $y = 2 x - 3$ .

معامله الموجه هو $a = 2$ وإحداثيه الأصلي هو $b = - 3$ .
يقطع محور الأراتيب عند النقطة $(0; - 3)$ .
هل النقطة $A (4; 5)$ تنتمي إلى $(D)$ ؟ نحسب $2 \times 4 - 3 = 8 - 3 = 5$ . بما أننا نجد $5$ ، فالنقطة $A$ تنتمي فعلاً إلى المستقيم.

مثال 2: إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطتين

حدد المعادلة المختزلة للمستقيم المار بـ $A (1; 3)$ و $B (3; 7)$ .

الخطوة 1 — المعامل الموجه:

$a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

المعادلة إذن من الشكل $y = 2 x + b$ .

الخطوة 2 — الإحداثي الأصلي: نعوض بإحداثيات $A (1; 3)$ :

$3 = 2 \times 1 + b ⟹ 3 = 2 + b ⟹ b = 1$

الخلاصة: معادلة المستقيم هي $y = 2 x + 1$ .

التحقق مع $B (3; 7)$ : $2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$ . صحيح.

مثال 3: التعرف على مستقيمات متوازية

المستقيمان $y = - 3 x + 5$ و $y = - 3 x - 2$ لهما نفس المعامل الموجه $a = - 3$ ، لكن إحداثيات أصلية مختلفة. إذن هما متوازيان تماماً.

📈 Figure clé

Droite

y = a x + b

true

🔑 Formules clés à retenir

$y = a x + b$ — المعادلة المختزلة لمستقيم: $a$ المعامل الموجه، $b$ الإحداثي الأصلي
$a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ — المعامل الموجه انطلاقاً من نقطتين $A$ و $B$ (حيث $x_{A} \neq = x_{B}$ )
$(0; b)$ — نقطة تقاطع المستقيم مع محور الأراتيب
$y = b$ — مستقيم أفقي (موازٍ لمحور الأفاصيل)، معامله الموجه معدوم
$x = c$ — مستقيم عمودي (موازٍ لمحور الأراتيب)، بدون معامل موجه
$a = a^{'}$ — شرط توازي مستقيمين $y = a x + b$ و $y = a^{'} x + b^{'}$
$a = a^{'}$ و $b = b^{'}$ — شرط تطابق مستقيمين
$y_{M} = a x_{M} + b$ — شرط انتماء نقطة $M (x_{M}; y_{M})$ إلى المستقيم

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

خطأ: عكس البسط والمقام في المعامل الموجه بكتابة $a = \frac{x _{B} - x _{A}}{y _{B} - y _{A}}$ . دائماً تغير $y$ في الأعلى وتغير $x$ في الأسفل: $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .

❌

خطأ: خلط ترتيب النقاط. إذا وضعنا $y_{B} - y_{A}$ في البسط، يجب حتماً وضع $x_{B} - x_{A}$ (نفس الترتيب) في المقام، أبداً $x_{A} - x_{B}$ .

❌

خطأ: الاعتقاد أن مستقيماً عمودياً $x = c$ له معامل موجه. ليس له معامل موجه، ولا يُكتب أبداً على الشكل $y = a x + b$ .

✅

لإيجاد $b$ ، عوض ببساطة $x$ و $y$ بإحداثيات نقطة معلومة من المستقيم، ثم اعزل $b$ . تحقق بعد ذلك مع النقطة الثانية.

✅

لمعرفة ما إذا كان مستقيمان متوازيين، يكفي مقارنة معاملاتهما الموجهة: إذا كانت متساوية ( $a = a^{'}$ )، فالمستقيمان متوازيان.

💡

على رسم بياني، اقرأ أولاً $b$ (حيث يقطع المستقيم محور الأراتيب)، ثم أوجد $a$ بالتقدم بـ $1$ نحو اليمين وعد كم تصعد ( $a > 0$ ) أو تنزل ( $a < 0$ ).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Équation d'une droite

Type 1 : Reconnaître le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine

Quand ? Une droite est donnée par son équation réduite et on veut identifier ses éléments.

Mettre l'équation sous la forme $y = a x + b$ .
Le nombre $a$ devant $x$ est le coefficient directeur.
Le nombre $b$ (sans $x$ ) est l'ordonnée à l'origine.

Exemple éclair : Pour $y = 3 x - 5$ , le coefficient directeur est $a = 3$ et l'ordonnée à l'origine est $b = - 5$ .

Type 2 : Calculer le coefficient directeur à partir de deux points

Quand ? On connaît deux points de la droite et on cherche son coefficient directeur.

Noter les coordonnées $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ .
Appliquer la formule $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .
Simplifier la fraction pour obtenir la valeur de $a$ .

Exemple éclair : Pour $A (1; 2)$ et $B (3; 8)$ : $a = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ .

Type 3 : Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points

Quand ? On veut l'équation réduite $y = a x + b$ d'une droite définie par deux points.

Calculer le coefficient directeur $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ .
Remplacer $a$ et les coordonnées d'un point dans $y = a x + b$ pour trouver $b$ .
Écrire l'équation complète $y = a x + b$ .

Exemple éclair : Avec $a = 3$ et le point $A (1; 2)$ : $2 = 3 \times 1 + b$ donc $b = - 1$ , d'où $y = 3 x - 1$ .

Type 4 : Tracer une droite à partir de son équation

Quand ? On connaît l'équation $y = a x + b$ et on doit tracer la droite dans un repère.

Choisir deux valeurs de $x$ et calculer les $y$ correspondants pour obtenir deux points.
Placer ces deux points dans le repère.
Tracer la droite passant par ces deux points à la règle.

Exemple éclair : Pour $y = 2 x + 1$ : si $x = 0$ alors $y = 1$ , si $x = 2$ alors $y = 5$ ; on relie $(0; 1)$ et $(2; 5)$ .

Type 5 : Vérifier qu'un point appartient à une droite

Quand ? On veut savoir si un point donné est situé sur une droite d'équation connue.

Remplacer $x$ par l'abscisse du point dans l'équation $y = a x + b$ .
Calculer la valeur de $y$ obtenue.
Comparer avec l'ordonnée du point : si elles sont égales, le point appartient à la droite.

Exemple éclair : Le point $M (2; 5)$ et la droite $y = 2 x + 1$ : $2 \times 2 + 1 = 5$ , donc $M$ appartient à la droite.

Équation d'une droite — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

13 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 13 corrigés

Exercices Faciles

4 exercices

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Facile

Énoncé

نعتبر المستقيم $(D)$ ذا المعادلة: $y = 3 x - 8$ .

حدد المعامل الموجه والإحداثية عند الأصل للمستقيم $(D)$ .
من بين النقط التالية، حدد تلك التي تنتمي إلى المستقيم $(D)$ : $A (2; 0)$ ، $B (1; - 5)$ و $C (3; 1)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Appartenance et abscisse inconnue

Facile

Énoncé

نعتبر المستقيم $(D)$ ذا المعادلة: $y = 3 x - 1$ .

حدد المعامل الموجه والإحداثية الأصلية للمستقيم $(D)$ .
هل النقطة $A (- 1; 4)$ تنتمي إلى المستقيم $(D)$ ؟
حدد قيمة $α$ بحيث تنتمي النقطة $B (α; 3)$ إلى المستقيم $(D)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite

Facile

Énoncé

نعتبر المستقيم $(D)$ ذا المعادلة الديكارتية:

$- 6 x + 3 y - 12 = 0$

حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(D)$ .
استنتج المعامل الموجه والإحداثية عند نقطة الأصل للمستقيم $(D)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Droite parallèle à une droite donnée

Facile

Énoncé

حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(L)$ المار من النقطة $A (3; - 1)$ والموازي للمستقيم $(D) : y = 2 x - 5$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

5 exercices

Déterminer des équations réduites de droites

Intermédiaire

Énoncé

حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(Δ)$ ذي المعامل الموجه $3$ المار بالنقطة $M (- 2; 5)$ .
حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(A B)$ حيث $A (1; 3)$ و $B (- 2; 5)$ .
حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(E F)$ حيث $E (- 3; 4)$ و $F (2; - 1)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Points alignés

Intermédiaire

Énoncé

نعتبر النقط $A (1; 5)$ و $B (- 2; - 1)$ و $C (0; 3)$ .

هل النقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة؟ برر الجواب.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Droites parallèles

Intermédiaire

Énoncé

في كل حالة، حدد ما إذا كان المستقيمان $(D)$ و $(Δ)$ متوازيين.

$(D) : y = 2 x + 3$ و $(Δ) : y = 2 x - 3$ .
$(D) : y = \frac{1}{2} x + 4$ و $(Δ) : y = 2 x + 4$ .
$(D) : y = - \frac{1}{2} x + 3$ و $(Δ) : y = - \frac{1}{2} x + 1$ .
$(D) : y = - 2 x + 5$ و $(Δ) : 2 x + y - 7 = 0$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Droites perpendiculaires : critère

Intermédiaire

Énoncé

في معلم متعامد ومتجانس، حدد في كل حالة إذا كان المستقيمان $(D)$ و $(Δ)$ متعامدين.

$(D) : y = 3 x + 1$ و $(Δ) : y = - \frac{1}{3} x + 1$ .
$(D) : y = 2 x - 3$ و $(Δ) : x + 2 y + 3 = 0$ .
$(D) : y = 5 x + 2$ و $(Δ) : y = \frac{1}{5} x - 2$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Droite perpendiculaire passant par un point

Intermédiaire

Énoncé

في معلم متعامد ومتجانس، حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(K)$ المار من النقطة $B (- 1; 2)$ والعمودي على المستقيم $(Δ) : y = - \frac{1}{5} x + \frac{97}{9}$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Difficiles

4 exercices

Médiatrice d'un segment

Difficile

Énoncé

في معلم متعامد ومتجانس، نعتبر النقطتين $A (3; 4)$ و $B (2; - 3)$ .

حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(D)$ ، المحور المتوسط للقطعة $[A B]$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Droite (AB), perpendicularité et parallèle

Difficile

Énoncé

في معلم متعامد ومتجانس $(O; I; J)$ ، نعتبر النقطتين $A (8; - 1)$ و $B (7; - 3)$ .

حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(A B)$ .
ليكن $(D)$ المستقيم ذو المعادلة $x + 2 y - 7 = 0$ . بين أن $(D) ⊥ (A B)$ .
حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(Δ)$ المار من $A$ والموازي لـ $(D)$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Triangle rectangle par les coefficients directeurs

Difficile

Énoncé

في معلم متعامد ومتجانس، نعتبر النقط $A (1; - 1)$ و $B (2; 1)$ و $C (0; 2)$ .

حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(A B)$ .
حدد المعادلة المختزلة للمستقيم $(B C)$ .
استنتج أن $A B C$ مثلث قائم الزاوية.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Vecteur, distance, milieu et médiatrice

Difficile

Énoncé

في معلم متعامد ومتجانس $(O; I; J)$ ، نعتبر النقطتين $A (2; - 1)$ و $B (3; 1)$ والمستقيم $(Δ) : y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{4}$ .

حدد إحداثيات المتجهة $A B$ ثم استنتج المسافة $A B$ .
حدد إحداثيات النقطة $M$ ، منتصف القطعة $[A B]$ .
بين أن $y = 2 x - 5$ هي المعادلة المختزلة للمستقيم $(A B)$ .
بين أن $(Δ)$ هو المحور المتوسط للقطعة $[A B]$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Équation d'une droite

Équation d'une droite — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

معادلة مستقيم

1. المعادلة المختزلة لمستقيم

تعريف

2. معنى a و b

الإحداثي الأصلي b

المعامل الموجه a

3. حساب المعامل الموجه انطلاقاً من نقطتين

خاصية

4. مستقيمات خاصة

تعريف

تعريف

5. تحديد معادلة مستقيم يمر بنقطتين

6. شرط توازي مستقيمين

خاصية

7. القراءة البيانية

8. أمثلة محلولة

مثال 1: قراءة واستعمال معادلة

مثال 2: إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطتين

مثال 3: التعرف على مستقيمات متوازية

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Équation d'une droite

Type 1 : Reconnaître le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine

Type 2 : Calculer le coefficient directeur à partir de deux points

Type 3 : Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points

Type 4 : Tracer une droite à partir de son équation

Type 5 : Vérifier qu'un point appartient à une droite

Équation d'une droite — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Appartenance et abscisse inconnue

Passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite

Droite parallèle à une droite donnée

Exercices Intermédiaires

Déterminer des équations réduites de droites

Points alignés

Droites parallèles

Droites perpendiculaires : critère

Droite perpendiculaire passant par un point

Exercices Difficiles

Médiatrice d'un segment

Droite (AB), perpendicularité et parallèle

Triangle rectangle par les coefficients directeurs

Vecteur, distance, milieu et médiatrice

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Équation d'une droite

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

2. معنى $a$ و $b$

الإحداثي الأصلي $b$

المعامل الموجه $a$