Statistiques descriptives — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 9: الإحصاء الوصفي

أولاً: المفردات

الساكنة الإحصائية: المجموعة المدروسة. الفرد: عنصر من الساكنة الإحصائية.
الميزة: الخاصية الملاحظة. المنوال: قيمة الميزة.
الحصيص $n_{i}$ : عدد الأفراد الذين لديهم المنوال i. الحصيص الإجمالي $N = Σ n_{i}$
التردد $f_{i} = n_{i} / N$ (بالنسبة المئوية) أو

f_{i} = n_{i} / N

(بالعدد العشري).

ثانياً: مؤشرات الوضع

المتوسط الحسابي:

\overline{x} = (Σ n_{i} x_{i}) / N

الوسيط: القيمة التي تقسم السلسلة إلى نصفين متساويين
المنوال: القيمة ذات أكبر حصيص

ثالثاً: البيانات المجمعة في فئات

بالنسبة للبيانات المجمعة في فئات

[a_{i}, a_{i + 1} [

ذات سعة

h

:
مركز الفئة:

c_{i} = (a_{i} + a_{i + 1}) /2

المتوسط الحسابي:

\overline{x} = Σ (n_{i} \times c_{i}) / N

رابعاً: مؤشرات التشتت

المدى:

e = max - min

الربيع الأول $Q_{1}$ : 25% من البيانات تحته. $Q_{3}$ : 75% تحته.
التباين:

V = Σ n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2} / N

الانحراف المعياري:

σ = V

🔑 Formules clés à retenir

التردد: $f_{i} = n_{i} / N$
المتوسط الحسابي: $\overline{x} = Σ (n_{i} x_{i}) / N$
المدى: القيمة القصوى − القيمة الدنيا
التباين: $V = Σ n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2} / N$
الانحراف المعياري: $σ = V$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

التباين ≠ الانحراف المعياري — التباين $V$ يكون بوحدات مربعة (مثال: cm²). الانحراف المعياري $σ = V$ يكون بنفس وحدات البيانات (مثال: cm). يجب دائماً أخذ الجذر التربيعي للحصول على $σ$ .

❌

القسمة على عدد القيم المميزة، وليس على الحصيص الإجمالي — إذا ظهرت القيمة 5 ثلاث مرات، نحسب 3 في $N$ ، وليس 1.

❌

الوسيط لسلسلة مجمعة ≠ منتصف القائمة — بالنسبة لـ $N$ زوجي، هو متوسط القيمتين المركزيتين بعد الترتيب.

🟢 نصائح احترافية

✅

صيغة بديلة للتباين: $V = \frac{Σ ( n _{i} x _{i}^{2} )}{N} - \overline{x}^{2}$ . غالباً ما تكون أسرع في الحساب من الصيغة التي تتضمن $(x_{i} - \overline{x})^{2}$ .

💡

انحراف معياري منخفض يعني أن البيانات متجمعة حول المتوسط. انحراف معياري مرتفع يعني تشتتاً كبيراً.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الإحصاء الوصفي

النوع 1: بناء جدول التكرارات والترددات

متى؟ عندما تُعطى لك سلسلة خام من القيم (نقاط، أطوال...) ويُطلب منك تنظيم البيانات.

حدد جميع القيم المختلفة $x_{i}$ ورتبها بترتيب تصاعدي.
عُدّ كم مرة تظهر كل قيمة: هذا هو التكرار $n_{i}$ .
احسب التكرار الكلي $N = \sum n_{i}$ .
احسب كل تردد $f_{i} = \frac{n _{i}}{N}$ (والنسبة المئوية $f_{i} \times 100$ ).
تحقق من الضبط: $\sum f_{i} = 1$ (أي $100%$ ).

مثال سريع: نقاط $5, 7, 5, 7, 7$ : بالنسبة لـ $x = 7$ ، $n = 3$ ، $N = 5$ ، إذن $f = \frac{3}{5} = 0, 6 = 60%$ .

النوع 2: حساب المتوسط لسلسلة

متى؟ عندما يُطلب القيمة المتوسطة $\overset{x}{ˉ}$ لسلسلة، معطاة خام أو في جدول تكرارات.

إذا كانت السلسلة خام: اجمع جميع القيم واقسم على عدد القيم.
إذا كانت السلسلة في جدول: استخدم $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{N} \sum n_{i} x_{i}$ .
بالنسبة للفئات $[a, b [$ ، خذ المركز $c_{i} = \frac{a + b}{2}$ كقيمة، ثم طبق نفس الصيغة مع $c_{i}$ .
احسب أولاً كل حاصل ضرب $n_{i} x_{i}$ ، اجمعها، ثم اقسم على $N$ .

مثال سريع: قيم $10, 12, 12, 14$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{10 + 12 + 12 + 14}{4} = \frac{48}{4} = 12$ .

النوع 3: تحديد المنوال والمدى

متى؟ عندما يُطلب القيمة الأكثر تكراراً أو التشتت الخام للسلسلة.

بالنسبة للمنوال: حدد القيمة $x_{i}$ التي لها أكبر تكرار $n_{i}$ .
بالنسبة للفئات: الفئة المنوالية هي تلك ذات أكبر تكرار.
بالنسبة للمدى: حدد أكبر قيمة وأصغر قيمة.
احسب المدى $= x_{m a x} - x_{m i n}$ .

مثال سريع: سلسلة $3, 5, 5, 8$ : المنوال هو $5$ (الأكثر تكراراً)، المدى $= 8 - 3 = 5$ .

النوع 4: تحديد الوسيط

متى؟ عندما يُطلب القيمة التي تقسم السلسلة إلى نصفين متساويين.

رتب جميع القيم بترتيب تصاعدي (مع التكرار حسب التكرارات).
عُدّ العدد الكلي $N$ من القيم.
إذا كان $N$ فردياً: الوسيط هو القيمة ذات الرتبة $\frac{N + 1}{2}$ .
إذا كان $N$ زوجياً: الوسيط هو متوسط القيمتين ذات الرتبة $\frac{N}{2}$ و $\frac{N}{2} + 1$ .
استعن بالتكرارات المتراكمة المتزايدة لتحديد الرتبة المطلوبة.

مثال سريع: سلسلة $2, 4, 6, 8$ ( $N = 4$ زوجي): الوسيط $= \frac{4 + 6}{2} = 5$ .

النوع 5: حساب التباين والانحراف المعياري

متى؟ عندما يُطلب قياس التشتت حول المتوسط.

احسب أولاً المتوسط $\overset{x}{ˉ}$ .
طبق التباين $V = \frac{1}{N} \sum n_{i} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ .
أو استخدم الصيغة العملية $V = \frac{1}{N} \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ (غالباً أسرع).
احسب الانحراف المعياري $σ = V$ .
تحقق من أن $V ⩾ 0$ : تباين سالب يشير إلى خطأ.

مثال سريع: قيم $4, 6$ : $\overset{x}{ˉ} = 5$ ، $V = \frac{( 4 - 5 ) ^{2} + ( 6 - 5 ) ^{2}}{2} = 1$ ، إذن $σ = 1 = 1$ .

النوع 6: قراءة وبناء رسم بياني إحصائي

متى؟ عندما يُطلب مخطط أعمدة، مدرج تكراري أو مخطط دائري.

مخطط أعمدة (قيم منفصلة): عمود لكل قيمة $x_{i}$ بارتفاع $n_{i}$ .
مدرج تكراري (فئات): مستطيلات يكون ارتفاعها (أو مساحتها) متناسباً مع التكرار.
مخطط دائري: كل قطاع له زاوية $α_{i} = f_{i} \times 36 0^{\circ}$ .
تحقق من أن مجموع الزوايا يساوي $36 0^{\circ}$ .
لا تنسَ العنوان، المحاور المدرجة والمفتاح.

مثال سريع: إذا كان $f_{i} = 25%$ ، فإن زاوية القطاع هي $α_{i} = 0, 25 \times 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

النوع 7: استخدام التكرارات والترددات المتراكمة

متى؟ عندما يُطلب "كم عدد القيم الأقل من..." أو رسم المنحنى المتراكم.

رتب القيم (أو الفئات) بترتيب تصاعدي.
التكرار المتراكم المتزايد: اجمع التكرارات تدريجياً سطراً بسطر.
التردد المتراكم المتزايد: اجمع الترددات تدريجياً.
يجب أن يساوي آخر تكرار متراكم $N$ وآخر تردد متراكم $1$ .
بالنسبة لسؤال "على الأقل / على الأكثر"، اقرأ مباشرة السطر المتراكم المقابل.

مثال سريع: تكرارات $2, 3, 5$ : متراكمة $2, 5, 10$ ، إذن $5$ قيم على الأكثر تساوي الصيغة الثانية.

Statistiques descriptives — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

55 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 55 corrigés

Exercices Faciles

22 exercices

حساب المعدل

Facile

Énoncé

في قسم يضم 5 تلاميذ، النقط المحصل عليها في مادة الرياضيات هي كالتالي: 12، 14، 16، 10، 18. أحسب معدل النقط.

Ma réponse

Statistiques descriptives

Statistiques descriptives — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 9: الإحصاء الوصفي

أولاً: المفردات

ثانياً: مؤشرات الوضع

ثالثاً: البيانات المجمعة في فئات

رابعاً: مؤشرات التشتت

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الإحصاء الوصفي

النوع 1: بناء جدول التكرارات والترددات

النوع 2: حساب المتوسط لسلسلة

النوع 3: تحديد المنوال والمدى

النوع 4: تحديد الوسيط

النوع 5: حساب التباين والانحراف المعياري

النوع 6: قراءة وبناء رسم بياني إحصائي

النوع 7: استخدام التكرارات والترددات المتراكمة

Statistiques descriptives — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

حساب المعدل

الحصيصات و الترددات

حساب المعدل

حساب المدى

الترددات المتراكمة

حساب المعدل

تردد قيمة الميزة

تردد الميزة

وسيط متسلسلة إحصائية

حساب المعدل

تحديد المنوال

تردد خاصية

مدى متسلسلة إحصائية

حساب المعدل

حساب المدى

حساب الوسيط

تحديد المنوال

تكرار قيمة

الحصيصات والتكرارات

مدرج الترددات ومضلعها

احسب المعدل

المنوال والوسيط

Exercices Intermédiaires

وسيط متسلسلة إحصائية

التباين والانحراف المعياري

مدى متسلسلة إحصائية

حساب التباين

رباعيات متسلسلة إحصائية

الانحراف المعياري لمتسلسلة إحصائية

حساب الوسيط

متوسط المتسلسلة الإحصائية

التباين والانحراف المعياري

حساب التباين

حساب المدى

حساب التباين

معامل التغير

الارتباط الخطي البسيط

بيانات مزدوجة المدخل

سلسلة إحصائية مبوبة

الربيعيات ومخطط الصندوق

التباين والانحراف المعياري

Exercices Difficiles

المتغيرات الإحصائية المتصلة

حل مشكلة الترددات

مسألة توزيع النقط

مسألة تطبيقية والانحراف المعياري

مسألة تطبيقية مع فئات

مسألة تطبيقية حول التردد

تحليل البيانات المبوبة

مسألة تشتت

مسألة تطبيقية حول المتسلسلات الإحصائية

مستقيم الانحدار (المربعات الدنيا)

السكان والمعاينة

تطبيق اقتصادي — مؤشر وانحدار

مقارنة متسلسلتين