Transformations du plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. مفهوم التحويل

التحويل في المستوى هو تطبيق f : P → P يربط كل نقطة M بنقطة وحيدة M' = f(M) تسمى صورة M. وتسمى النقطة M سابق M'.

نرمز له أيضا بـ M $\mapsto$ M'.

II. الإزاحة

ليكن $u$ متجهة في المستوى. الإزاحة ذات المتجهة $u$ ، ويرمز لها بـ $t_{u}$ ، هي التحويل الذي يربط كل نقطة M بالنقطة M' بحيث $M M^{'} = u$ .

خاصيات الإزاحة :

تحافظ على المسافات (تقايس) : M'N' = MN.
تحافظ على الزوايا، المساحات، الاستقامية، التوازي.
صورة مستقيم : مستقيم موازٍ.
صورة دائرة مركزها $Ω$ وشعاعها R : دائرة مركزها $Ω^{'} = t_{u} (Ω)$ ولها نفس الشعاع R.

الصيغة التحليلية : في معلم، إذا كانت $u (a, b)$ و M(x, y)، فإن M'(x', y') = $t_{u}$ (M) تعطى بالعلاقة :

$x^{'} = x + a, y^{'} = y + b$

III. التماثل المركزي

لتكن $Ω$ نقطة. التماثل المركزي الذي مركزه $Ω$ ، ويرمز له بـ $S_{Ω}$ ، هو التحويل الذي يربط كل نقطة M بالنقطة M' بحيث $Ω$ هي منتصف [MM'].

مكافئ : $Ω M^{'} = - Ω M$ .

التماثل المركزي هو تقايس (يحافظ على المسافات، الزوايا، المساحات). وهو أيضا دوران بزاوية $180°$ .

صورة مستقيم : مستقيم موازٍ. صورة دائرة : دائرة لها نفس الشعاع.

الصيغة التحليلية : إذا كانت $Ω (a, b)$ ، M(x, y)، فإن M'(x', y') :

$x^{'} = 2 a - x, y^{'} = 2 b - y$

IV. التماثل المحوري (العمودي)

ليكن (Δ) مستقيما. التماثل المحوري الذي محوره (Δ)، ويرمز له بـ $S_{Δ}$ ، هو التحويل الذي يربط كل نقطة M بالنقطة M' بحيث (Δ) هو الواسط للقطعة [MM'] (إذا كانت M ∉ Δ)، أو M' = M إذا كانت M ∈ Δ.

تقايس. النقط الثابتة : جميع نقط (Δ). صورة مستقيم (D) : مستقيم (D') ؛ متوازيان إذا وفقط إذا كان (D) $∥$ (Δ) أو (D) = (Δ).

الصيغة التحليلية (الحالات الاعتيادية) :

التماثل بالنسبة للمحور (Ox) : $(x, y) \mapsto (x, - y)$ .
التماثل بالنسبة للمحور (Oy) : $(x, y) \mapsto (- x, y)$ .
التماثل بالنسبة للمستقيم $y = x$ : $(x, y) \mapsto (y, x)$ .

V. الدوران

ليكن $Ω$ نقطة و $θ$ زاوية موجهة. الدوران الذي مركزه $Ω$ وزاويته $θ$ ، ويرمز له بـ $R_{(Ω, θ)}$ ، هو التحويل الذي يربط كل نقطة M $\neq =$ $Ω$ بالنقطة M' بحيث :

$Ω M^{'} = Ω M$ (الحفاظ على المسافة إلى المركز)،
$(Ω M, Ω M^{'}) = θ$ (قياس الزاوية الموجهة).

بالإضافة إلى $R_{(Ω, θ)} (Ω) = Ω$ .

الدوران هو تقايس. يحافظ على المسافات، الزوايا (واتجاهها)، المساحات. صورة مستقيم : مستقيم (ليس موازيا بشكل عام إلا إذا كانت $θ$ مضاعفا لـ $π$ ). صورة دائرة : دائرة لها نفس الشعاع.

حالات خاصة : $θ = 0$ $\Rightarrow$ التطابق ؛ $θ = π$ $\Rightarrow$ تماثل مركزي $S_{Ω}$ .

VI. التحاكي

ليكن $Ω$ نقطة و k عددا حقيقيا غير منعدم. التحاكي الذي مركزه $Ω$ ونسبته k، ويرمز له بـ $h_{(Ω, k)}$ ، هو التحويل الذي يربط كل نقطة M بالنقطة M' بحيث :

$Ω M^{'} = k \cdot Ω M$

خاصيات التحاكي $h_{(Ω, k)}$ :

إذا كان $k = 1$ : التطابق. إذا كان $k = - 1$ : تماثل مركزي $S_{Ω}$ .
يضرب المسافات في $∣ k ∣$ : M'N' = $∣ k ∣ \cdot$ MN.
يحافظ على الزوايا، الاستقامية، التوازي.
صورة مستقيم : مستقيم موازٍ. صورة دائرة شعاعها R : دائرة شعاعها $∣ k ∣ \cdot R$ .
يضرب المساحات في $k^{2}$ .

الصيغة التحليلية : إذا كانت $Ω (a, b)$ ، M(x, y)، فإن M'(x', y') = $h_{(Ω, k)}$ (M) :

$x^{'} = a + k (x - a), y^{'} = b + k (y - b)$

VII. ملخص - تأثيرات على الأشكال

التحويل	المسافات	المساحات	الزوايا	مستقيم ← مستقيم
الإزاحة	محفوظة	محفوظة	محفوظة	موازٍ
التماثل المركزي	محفوظة	محفوظة	محفوظة	موازٍ
التماثل المحوري	محفوظة	محفوظة	محفوظة (الاتجاه معكوس)	مستقيم
الدوران	محفوظة	محفوظة	محفوظة	مستقيم (صورة)
التحاكي (k)	× \|k\|	× $k^{2}$	محفوظة	موازٍ

📈 Figure clé

Translation d'un triangle par un vecteur

🔑 Formules clés à retenir

الإزاحة $t_{u}$ : $M M^{'} = u$ ; $x^{'} = x + a, y^{'} = y + b$
التماثل المركزي $S_{Ω}$ : $Ω$ منتصف $[M M^{'}]$ ; $x^{'} = 2 a - x, y^{'} = 2 b - y$
التماثل المحوري (Ox) : $(x, y) \mapsto (x, - y)$
الدوران $R_{(Ω, θ)}$ : $Ω M^{'} = Ω M$ و $(Ω M, Ω M^{'}) = θ$
التحاكي $h_{(Ω, k)}$ : $Ω M^{'} = k \cdot Ω M$ ; المسافات $\times ∣ k ∣$ ، المساحات $\times k^{2}$
التقايسات : الإزاحة، التماثلات، الدوران (تحافظ على المسافات)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

التحاكي: المساحات تُضرب في k²، وليس في k — إذا كان k = 3، فإن الأطوال تُضرب في 3 ولكن المساحات تُضرب في 9. لا تخلط بين التأثير على الأطوال والتأثير على المساحات.

❌

التماثل المحوري ≠ التماثل المركزي — المحوري: تماثل بالنسبة لمستقيم (محور). المركزي: تماثل بالنسبة لنقطة (مركز). صيغ الإحداثيات مختلفة.

❌

الدوران يحافظ على المسافات والزوايا، وليس على الاتجاهات — الدوران المباشر يحافظ على الاتجاه. التماثل يعكس الاتجاه.

🟢 نصائح احترافية

✅

التقايسات (تحافظ على المسافات): الإزاحة، الدوران، التماثل المحوري، التماثل المركزي. التحاكي الذي نسبته k ≠ ±1 ليس تقايسا.

💡

لإيجاد صورة نقطة، طبق صيغ الإحداثيات مباشرة بدلاً من القيام بإنشاء هندسي (أسرع وأقل أخطاء).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — تحويلات المستوى

النوع 1: إنشاء صورة نقطة بالإزاحة

متى؟ يُعطى شعاع $u$ ونقطة $M$ ، ونبحث عن $M^{'} = t_{u} (M)$ .

تذكّر التعريف: $M^{'} = t_{u} (M)$ يكافئ $M M^{'} = u$ .
بالإحداثيات: إذا كان $u (a; b)$ و $M (x; y)$ ، فإن $M^{'} (x + a; y + b)$ .
ضع النقطة بنقل الشعاع $u$ انطلاقاً من $M$ .

مثال سريع: $u (3; - 1)$ و $M (2; 5)$ يعطيان $M^{'} (5; 4)$ .

النوع 2: إنشاء صورة نقطة بالتحاكي

متى؟ يُعطى مركز $O$ ، نسبة $k$ ونقطة $M$ ، ونبحث عن $M^{'} = h (O, k) (M)$ .

تذكّر التعريف: $M^{'} = h (O, k) (M)$ يكافئ $O M^{'} = k O M$ .
بالإحداثيات مع $O (x_{O}; y_{O})$ : $x_{M^{'}} = x_{O} + k (x_{M} - x_{O})$ و $y_{M^{'}} = y_{O} + k (y_{M} - y_{O})$ .
إذا كان $k > 0$ ، فإن $M^{'}$ في نفس جهة $M$ بالنسبة لـ $O$ ؛ إذا كان $k < 0$ ، في الجهة المقابلة.

مثال سريع: $O (0; 0)$ ، $k = 2$ ، $M (1; 3)$ : $O M^{'} = 2 O M$ إذن $M^{'} (2; 6)$ .

النوع 3: إنشاء الصورة بالتماثل (المركزي أو المحوري)

متى؟ يُطلب صورة نقطة بالتماثل المركزي ذي المركز $O$ أو بالتماثل المحوري ذي المحور $(D)$ .

التماثل المركزي ذو المركز $O$ : $M^{'}$ بحيث $O$ منتصف $[M M^{'}]$ ، أي $O M^{'} = - O M$ (هو التحاكي ذو النسبة $- 1$ ).
التماثل المحوري ذو المحور $(D)$ : ارسم العمودي على $(D)$ المار بـ $M$ ، $M^{'}$ هي النقطة بحيث $(D)$ يقطع $[M M^{'}]$ في منتصفه وعمودياً.
بالإحداثيات، للتماثل المركزي: $M^{'} (2 x_{O} - x_{M}; 2 y_{O} - y_{M})$ .

مثال سريع: التماثل المركزي ذو المركز $O (1; 1)$ : صورة $M (4; 3)$ هي $M^{'} (2 \times 1 - 4; 2 \times 1 - 3) = (- 2; - 1)$ .

النوع 4: تحديد صورة مستقيم، دائرة أو قطعة

متى؟ يُطلب صورة شكل كامل بتحويل.

استخدم خاصية الحفظ: الإزاحة، التحاكي والتماثلات تحوّل مستقيماً إلى مستقيم، قطعة إلى قطعة، دائرة إلى دائرة.
بالنسبة لـ مستقيم: حوّل نقطتين منه، الصورة هي المستقيم المار بالصورتين.
بالنسبة لـ دائرة: حوّل المركز $Ω$ إلى $Ω^{'}$ . الشعاع يبقى ثابتاً بالإزاحة/التماثل، ويُضرب في $∣ k ∣$ بالتحاكي ذي النسبة $k$ .

مثال سريع: بـ $h (O, 3)$ ، دائرة شعاعها $2$ صورتها دائرة شعاعها $3 \times 2 = 6$ .

النوع 5: التعرف على تحويل انطلاقاً من شكلين

متى؟ يُعرض عليك شكل وصورته، ويُطلب تحديد التحويل الذي يربطهما.

قارن الأطوال: إذا كانت محفوظة، فهو إزاحة أو تماثل؛ إذا كانت مضروبة في $k$ ، فهو تحاكٍ ذو نسبة $k$ .
للتمييز بين الإزاحة والتماثل: تحقق إذا كان $M M^{'}$ نفسه لجميع النقاط (إزاحة) أو إذا كان هناك مركز/محور ثابت (تماثل).
بالنسبة للتحاكي: يجب أن تمر جميع المستقيمات $(M M^{'})$ بنقطة واحدة، هي المركز $O$ .

مثال سريع: إذا كان $A^{'} B^{'} = 2 A B$ و $(A A^{'})$ ، $(B B^{'})$ يتقاطعان في $O$ ، فهو التحاكي ذو المركز $O$ والنسبة $2$ .

النوع 6: تحديد مركز أو نسبة تحاكٍ

متى؟ نعلم أن صورة $A$ هي $A^{'}$ وصورة $B$ هي $B^{'}$ بتحاكٍ، ونبحث عن $k$ أو $O$ .

أوجد النسبة: $A^{'} B^{'} = k A B$ ، إذن $k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ (بإشارة حسب اتجاه الشعاعين).
أوجد المركز $O$ : يحقق $O A^{'} = k O A$ . حل هذه المعادلة الشعاعية لإحداثيات $O$ .
تحقق بنقطة ثانية.

مثال سريع: إذا كان $A^{'} B^{'} = 3 A B$ ، فإن النسبة تساوي $k = 3$ .

النوع 7: استخدام تحويل للبرهان (استقامة، منتصف، توازي)

متى؟ يُطلب إثبات استقامة، توازٍ أو حفظ خاصية عبر تحويل.

حدد التحويل $T$ المناسب (غالباً تحاكٍ أو إزاحة يقترحها نص المسألة).
طبّق الخاصية المقابلة: $T$ يحفظ الاستقامة، التوازي، المنتصف والزوايا.
حرر: « $T$ يحوّل النقطة الفلانية إلى النقطة الفلانية، وبما أن $T$ يحفظ ... إذن ...».

مثال سريع: إذا كان تحاكٍ يرسل $A$ ، $B$ ، $C$ إلى $A^{'}$ ، $B^{'}$ ، $C^{'}$ وكانت $A$ ، $B$ ، $C$ مستقيمة، فإن $A^{'}$ ، $B^{'}$ ، $C^{'}$ مستقيمة أيضاً.

Transformations du plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

72 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 72 corrigés

Exercices Faciles

25 exercices

صورة بإزاحة

Facile

Énoncé

ليكن $u (3, - 2)$ و $M (1, 4)$ . حدد إحداثيات $M^{'} = t_{u} (M)$ .

Ma réponse

Transformations du plan

Transformations du plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. مفهوم التحويل

II. الإزاحة

III. التماثل المركزي

IV. التماثل المحوري (العمودي)

V. الدوران

VI. التحاكي

VII. ملخص - تأثيرات على الأشكال

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — تحويلات المستوى

النوع 1: إنشاء صورة نقطة بالإزاحة

النوع 2: إنشاء صورة نقطة بالتحاكي

النوع 3: إنشاء الصورة بالتماثل (المركزي أو المحوري)

النوع 4: تحديد صورة مستقيم، دائرة أو قطعة

النوع 5: التعرف على تحويل انطلاقاً من شكلين

النوع 6: تحديد مركز أو نسبة تحاكٍ

النوع 7: استخدام تحويل للبرهان (استقامة، منتصف، توازي)

Transformations du plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

صورة بإزاحة

صورة بالتماثل المركزي

التماثل المحوري

تحويل بسيط

Construire l'image par une homothétie de rapport 2

نص التمرين

ترجمة بسيطة

ترجمة بسيطة

الإزاحة والإحداثيات

التماثل المركزي

التماثل المركزي والإحداثيات

ترجمة بسيطة

ترجمة مع سياق

التماثل المركزي

التماثل في سياق

تبسيط تعبير

التماثل المركزي

ترجمة مع سياق

المسافة والإزاحة

التماثل المركزي في سياق

ترجمة بسيطة

التماثل المركزي

برهان خاصية الإزاحة

الإزاحة والمسافات

الإزاحة والمسافات

التماثل المركزي

Exercices Intermédiaires

تركيب تماثلين محوريين متوازيين

تركيب تماثل مركزي وإزاحة

صورة شكل بتحاك

صورة قطعة بإزاحة

صورة دائرة بتحاك

تركيب إزاحتين

دوران بـ 90° حول O

Homothétie et alignement d'un triangle

نص التمرين

Image de deux points et rapport de longueurs

نص التمرين

Déterminer le rapport et les images de droites

نص التمرين

الإزاحة والمسافات

الإزاحة والمحاذاة

التماثل المركزي وحساب المسافة

الإزاحة والمتجهات

ترجمة شكل

التماثل والأشكال الهندسية

مسألة بتحويلين

برهان خاصية

الإزاحة والإحداثيات

التماثل المركزي والدائرة

الإزاحة في معلم

الإزاحة والشكل الهندسي