دراسة دالة ببارامتر – برهان وتغيرات

التمرين 4

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ:

$f(x)=x+\frac{4}{x}$

1. احسب نهايات $f$ عند $0^{+}$ وعند $+\infty$. ماذا يمكن استنتاجه حول وجود قيمة صغرى؟

2. احسب $f^{\prime }(x)$ وأنشئ جدول تغيرات $f$ على $]0;+\infty [$. استنتج القيمة الصغرى للدالة $f$.

3. بين أن المعادلة $f(x)=k$ تقبل:
   — لا حل إذا كان $k<4$،
   — حلا واحدا بالضبط إذا كان $k=4$،
   — حلين بالضبط إذا كان $k>4$.
   (استعمل جدول التغيرات.)

4. حرفي من مراكش يصنع علبا مستطيلة قاعدتها مربع ضلعه $x$ (بالديسيمتر) وارتفاعها $\frac{4}{x^2}$ (بالديسيمتر). عبر عن المساحة الكلية $S(x)$ للعلبة بدلالة $x$، ثم حدد قيمة $x$ التي تصغر $S(x)$ من أجل $x>0$.