Exercice 6 On considère la fonction h définie sur son domaine de définition par : h ( x ) = x + 1 2 x 2 − x − 1 Déterminer le domaine de définition D h de h . Effectuer la division euclidienne de 2 x 2 − x − 1 par x + 1 . En déduire une écriture de h ( x ) sous la forme h ( x ) = a x + b + x + 1 r , où a , b , r sont des réels à déterminer. En déduire les asymptotes à la courbe C h (verticale et oblique). Étudier la position de C h par rapport à son asymptote oblique. Calculer h ′ ( x ) pour tout x ∈ D h . Étudier le signe de h ′ ( x ) et dresser le tableau de variations complet de h . Déterminer les coordonnées des éventuels extrema locaux de h . Déterminer les intersections de C h avec les axes du repère, puis tracer C h et son asymptote oblique dans un repère orthonormal.

Étude d'une fonction rationnelle avec asymptote oblique et signe

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 6

On considère la fonction h définie sur son domaine de définition par :

$h (x) = \frac{2 x ^{2} - x - 1}{x + 1}$

Déterminer le domaine de définition $D_{h}$ de h.
Effectuer la division euclidienne de $2 x^{2} - x - 1$ par $x + 1$ . En déduire une écriture de $h (x)$ sous la forme $h (x) = a x + b + \frac{r}{x + 1}$ , où $a$ , $b$ , $r$ sont des réels à déterminer.
En déduire les asymptotes à la courbe $C_{h}$ (verticale et oblique). Étudier la position de $C_{h}$ par rapport à son asymptote oblique.
Calculer $h^{'} (x)$ pour tout $x \in D_{h}$ . Étudier le signe de $h^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations complet de h.
Déterminer les coordonnées des éventuels extrema locaux de h.
Déterminer les intersections de $C_{h}$ avec les axes du repère, puis tracer $C_{h}$ et son asymptote oblique dans un repère orthonormal.

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1 Indice 1

Le domaine de définition impose seulement que le dénominateur $x+1$ ne soit pas nul.

2 Indice 2

Effectue la division euclidienne de $2x^2-x-1$ par $x+1$ pour obtenir la forme $ax+b+\frac{r}{x+1}$.

3 Indice 3

Pour la dérivée, écris $h(x)=2x-3+2(x+1)^{-1}$ et dérive terme à terme ; mets ensuite au même dénominateur et factorise le numérateur.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Le domaine de définition impose seulement que le dénominateur $x + 1$ ne soit pas nul.

Effectue la division euclidienne de $2 x^{2} - x - 1$ par $x + 1$ pour obtenir la forme $a x + b + \frac{r}{x + 1}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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