Étude d'une fonction avec paramètre — démonstration et variations

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=x+\frac{4}{x}$

1. Calculer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$. Que peut-on en déduire sur l'existence d'un minimum ?

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty [$. En déduire la valeur minimale de $f$.

3. Montrer que l'équation $f(x)=k$ admet :
   — aucune solution si $k<4$,
   — exactement une solution si $k=4$,
   — exactement deux solutions si $k>4$.
   (On utilisera le tableau de variations.)

4. Un artisan de Marrakech fabrique des boîtes rectangulaires dont la base est un carré de côté $x$ (en dm) et dont la hauteur est $\frac{4}{x^2}$ (en dm). Exprimer la surface totale $S(x)$ de la boîte en fonction de $x$, puis déterminer la valeur de $x$ qui minimise $S(x)$ pour $x>0$.