Étude de f(x) = ln(x² + 1) — parité, limites, dérivée

Soit f définie par $f(x)=\ln (x^2+1)$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$.
2. Montrer que f est une fonction paire.
3. Calculer les limites de f en $+\infty$ et étudier les variations.
4. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $[0,+\infty [$.
5. Dresser le tableau de variations sur $\mathbb{R}$.