Soit h ( x ) = x − 1 − ln ( x ) définie sur ] 0 , + ∞ [ . Montrer que h ( x ) ≥ 0 pour tout x > 0 , avec égalité ssi x = 1 . En déduire l'inégalité : ln ( x ) ≤ x − 1 pour tout x > 0 . En posant x = 1/ t ( t > 0 ), montrer que : 1 − t 1 ≤ ln ( t ) ≤ t − 1 En déduire que : x → 1 lim x − 1 ln ( x ) = 1 Application : montrer que pour tout n ≥ 1 : n + 1 1 ≤ ln ( 1 + n 1 ) ≤ n 1 En déduire l'encadrement : ln ( 2 ) ≤ k = 1 ∑ n k 1 − ln ( n ) ≤ ln ( 2 ) + 1 pour n ≥ 1 .

Inégalité ln(x) ≤ x−1 et applications

Intermédiaire

Soit $h (x) = x - 1 - ln (x)$ définie sur $] 0, + \infty [$ .

Montrer que $h (x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ , avec égalité ssi $x = 1$ . En déduire l'inégalité : $ln (x) \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ .
En posant $x = 1/ t$ ( $t > 0$ ), montrer que : $1 - \frac{1}{t} \leq ln (t) \leq t - 1$
En déduire que : $x \to 1 lim \frac{ln ( x )}{x - 1} = 1$
Application : montrer que pour tout $n \geq 1$ : $\frac{1}{n + 1} \leq ln (1 + \frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}$
En déduire l'encadrement : $ln (2) \leq k = 1 \sum n \frac{1}{k} - ln (n) \leq ln (2) + 1$ pour $n \geq 1$ .

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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