Soit f la fonction définie sur ]0, + ∞ [ par f ( x ) = x l n ( x ) . Calculer les limites de f en 0 + et en + ∞ . Calculer f ′ ( x ) et dresser le tableau de variations de f. Montrer que f admet un maximum. Donner sa valeur. Étudier la concavité de f (calculer f ′′ ( x ) ). Résoudre l'inéquation f ( x ) ≥ 0 . En déduire les solutions de ln ( x ) ≥ x ⋅ ln ( x ) sur ]0, + ∞ [.

Étude complète de f(x) = ln(x)/x

Intermédiaire

Énoncé

Soit f la fonction définie sur ]0, + $\infty$ [ par $f (x) = \frac{l n ( x )}{x}$ .

Calculer les limites de f en $0^{+}$ et en $+ \infty$ .
Calculer $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de f.
Montrer que f admet un maximum. Donner sa valeur.
Étudier la concavité de f (calculer $f^{''} (x)$ ).
Résoudre l'inéquation $f (x) \geq 0$ . En déduire les solutions de $ln (x) \geq x \cdot ln (x)$ sur ]0, + $\infty$ [.

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer les limites, pense au théorème des croissances comparées : en $+\infty$, la fonction $\ln(x)$ croît beaucoup plus lentement que $x$. Et en $0^+$, regarde le signe de chaque partie de la fraction.

2 Indice 2

Pour la dérivée, utilise la formule du quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u = \ln(x)$ et $v = x$. Ensuite, étudie le signe de $1 - \ln(x)$ pour trouver où $f$ croît ou décroît.

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Pour calculer les limites, pense au théorème des croissances comparées : en $+ \infty$ , la fonction $ln (x)$ croît beaucoup plus lentement que $x$ . Et en $0^{+}$ , regarde le signe de chaque partie de la fraction.

Pour la dérivée, utilise la formule du quotient $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ avec $u = ln (x)$ et $v = x$ . Ensuite, étudie le signe de $1 - ln (x)$ pour trouver où $f$ croît ou décroît.

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