Étude de f(x) = x - ln(x) et inéquation

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Énoncé

Soit définie sur .

  1. Calculer les limites de en et en .
  2. Calculer , étudier ses variations et déterminer le minimum de .
  3. En déduire que pour tout : .
  4. Résoudre l'inéquation sur . (On admettra qu'il y a un unique point d'intersection .)

Indices

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1 Indice 1
Pour résoudre l'inéquation $\ln(x+1) > 2x - 3$, commence par poser $h(x) = \ln(x+1) - (2x-3)$ et étudie son signe. Tu devras calculer $h'(x)$ pour dresser le tableau de variations de $h$.
2 Indice 2
Calcule $h'(x) = \dfrac{1}{x+1} - 2$ et cherche où elle s'annule. Étudie ensuite les limites de $h$ en $-1^+$ et en $+\infty$, puis trace l'allure de la courbe pour voir où $h(x) > 0$.

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La méthode — par où commencer

Pour résoudre l'inéquation , commence par poser et étudie son signe. Tu devras calculer pour dresser le tableau de variations de .

Calcule et cherche où elle s'annule. Étudie ensuite les limites de en et en , puis trace l'allure de la courbe pour voir où .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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