ليكن a , b عددين صحيحين طبيعيين قطعا موجبين بحيث pgcd ( a , b ) = 1 . بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي n ≥ ab ، المعادلة a x + b y = n تقبل على الأقل حلا واحدا ( x , y ) ∈ N 2 . برهن أن n = ab − a − b لا يمكن كتابته على شكل a x + b y حيث x , y ∈ N . (مبرهنة سيلفستر — النتيجة مقبولة جزئيا.)

معادلة ديوفانتية بمتغير

Difficile

ليكن $a, b$ عددين صحيحين طبيعيين قطعا موجبين بحيث $pgcd (a, b) = 1$ .

بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي $n \geq ab$ ، المعادلة $a x + b y = n$ تقبل على الأقل حلا واحدا $(x, y) \in N^{2}$ .
برهن أن $n = ab - a - b$ لا يمكن كتابته على شكل $a x + b y$ حيث $x, y \in N$ . (مبرهنة سيلفستر — النتيجة مقبولة جزئيا.)

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

استعمل مبرهنة بيزو : $\\gcd(a,b)=1$ تعطي $au_0+bv_0=1$ لأعداد صحيحة معينة.

2 الإرشاد 2

في السؤال 1، اكتب الحل العام $x=nu_0+bk$، $y=nv_0-ak$ واضبط $k$ حتى يكون $0\\le x

3 الإرشاد 3

في السؤال 2، برهن بالخلف باقيا بترديد $a$ : $b(y+1)\\equiv 0 \\pmod{a}$ يفرض $y\\ge a-1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

استعمل مبرهنة بيزو : $g c d (a, b) = 1$ تعطي $a u_{0} + b v_{0} = 1$ لأعداد صحيحة معينة.

في السؤال 1، اكتب الحل العام $x = n u_{0} + bk$ ، $y = n v_{0} - ak$ واضبط $k$ حتى يكون $0 l e x < b$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points