نُعَرِّفُ أعداد فيرما: F n = 2 2 n + 1 لكل n ∈ N . احسب F 0 , F 1 , F 2 , F 3 , F 4 وتحقق أنها أعداد أولية. بين أن F n ∣ F n + 1 − 2 لكل n ∈ N . استنتج أنه لكل عددين صحيحين m < n ، فإن g cd ( F m , F n ) = 1 . استنتج برهاناً جديداً على لا نهائية الأعداد الأولية.

أعداد فيرما والأولية

Difficile

Énoncé

نُعَرِّفُ أعداد فيرما: $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ لكل $n \in N$ .

احسب $F_{0}$ , $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ , $F_{4}$ وتحقق أنها أعداد أولية.
بين أن $F_{n} ∣ F_{n + 1} - 2$ لكل $n \in N$ .
استنتج أنه لكل عددين صحيحين $m < n$ ، فإن $g cd (F_{m}, F_{n}) = 1$ .
استنتج برهاناً جديداً على لا نهائية الأعداد الأولية.

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

للسؤال 2، اكتب $F_{n+1}-2 = 2^{2^{n+1}}-1$ وحلله كفرق مربعين باستعمال $2^{2^{n+1}} = (2^{2^n})^2$.

2 الإرشاد 2

للسؤال 3، برهن بالتراجع أن $F_m$ يقسم $F_n - 2$ من أجل $m

3 الإرشاد 3

للسؤال 4، كل عدد $F_n$ له قاسم أولي؛ استعمل كون هذه القواسم مختلفة فيما بينها لاستنتاج وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

للسؤال 2، اكتب $F_{n + 1} - 2 = 2^{2^{n + 1}} - 1$ وحلله كفرق مربعين باستعمال $2^{2^{n + 1}} = (2^{2^{n}})^{2}$ .

للسؤال 3، برهن بالتراجع أن $F_{m}$ يقسم $F_{n} - 2$ من أجل $m < n$ ، ثم استنتج ماذا يعني ذلك بالنسبة لـ $g cd (F_{m}, F_{n})$ علما أن الأعداد $F_{k}$ فردية.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

دراسة متتالية حسابية بترديد n كل تمارين الدرس الموافقات وبواقي القوى

أعداد فيرما والأولية

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

أعداد فيرما والأولية

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯