Congruences et restes de puissances

Facile
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Énoncé

  1. Déterminer le reste de dans la division euclidienne par 10.
  2. Déterminer le reste de modulo 13.
  3. Montrer que 11 divise .

Indices

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1 Indice 1
Pour le premier, calcule d'abord $7^2$ modulo $10$, tu verras qu'il vaut $-1$. Utilise ensuite cette propriété pour simplifier $7^{100}$.
2 Indice 2
Pour le deuxième, applique le petit théorème de Fermat : $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$. Écris $2024$ comme un multiple de $12$ plus un reste, puis calcule $5^2$ modulo $13$.

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La méthode — par où commencer

Pour le premier, calcule d'abord modulo , tu verras qu'il vaut . Utilise ensuite cette propriété pour simplifier .

Pour le deuxième, applique le petit théorème de Fermat : . Écris comme un multiple de plus un reste, puis calcule modulo .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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