On note d : N ∗ → N ∗ l'application qui, à chaque n ∈ N ∗ , associe le nombre de diviseurs ≥ 1 de n . Montrer que, pour tout a ∈ N ∖ { 0 , 1 } , et pour tout n ∈ N ∗ , on a : d ( a n − 1 ) ≥ d ( n ) .

Nombre de diviseurs et puissances

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Mohammed Aassila — Objectif Olympiades de Mathématiques, Tome 5 : Arithmétique

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

On note $d : N^{*} \to N^{*}$ l'application qui, à chaque $n \in N^{*}$ , associe le nombre de diviseurs $\geq 1$ de $n$ . Montrer que, pour tout $a \in N ∖ {0, 1}$ , et pour tout $n \in N^{*}$ , on a : $d (a^{n} - 1) \geq d (n)$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pense à établir un lien entre les diviseurs de $n$ et les diviseurs de $a^n - 1$. Si $k$ divise $n$, que peux-tu dire de $a^k - 1$ et $a^n - 1$ ?

2 Indice 2

Écris $n = km$ et factorise $a^n - 1 = (a^k)^m - 1$. Utilise la formule $X^m - 1 = (X-1)(X^{m-1} + X^{m-2} + \cdots + 1)$ avec $X = a^k$.

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Pense à établir un lien entre les diviseurs de $n$ et les diviseurs de $a^{n} - 1$ . Si $k$ divise $n$ , que peux-tu dire de $a^{k} - 1$ et $a^{n} - 1$ ?

Écris $n = k m$ et factorise $a^{n} - 1 = (a^{k})^{m} - 1$ . Utilise la formule $X^{m} - 1 = (X - 1) (X^{m - 1} + X^{m - 2} + \dots + 1)$ avec $X = a^{k}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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