On définit les nombres de Fermat : F n = 2 2 n + 1 pour n ∈ N . Calculer F 0 , F 1 , F 2 , F 3 , F 4 et vérifier qu'ils sont premiers. Montrer que F n ∣ F n + 1 − 2 pour tout n ∈ N . En déduire que pour tous m < n entiers, g cd ( F m , F n ) = 1 . En déduire une nouvelle démonstration de l'infinité des nombres premiers.

Nombres de Fermat et premiers

Difficile

Énoncé

On définit les nombres de Fermat : $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ pour $n \in N$ .

Calculer $F_{0}$ , $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ , $F_{4}$ et vérifier qu'ils sont premiers.
Montrer que $F_{n} ∣ F_{n + 1} - 2$ pour tout $n \in N$ .
En déduire que pour tous $m < n$ entiers, $g cd (F_{m}, F_{n}) = 1$ .
En déduire une nouvelle démonstration de l'infinité des nombres premiers.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 2, écris $F_{n+1}-2 = 2^{2^{n+1}}-1$ et factorise-le comme une différence de carrés en utilisant $2^{2^{n+1}} = (2^{2^n})^2$.

2 Indice 2

Pour la question 3, montre par récurrence que $F_m$ divise $F_n - 2$ pour $m

3 Indice 3

Pour la question 4, chaque $F_n$ possède un facteur premier ; utilise le fait que ces facteurs sont distincts pour en déduire une infinité de nombres premiers.

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Pour la question 2, écris $F_{n + 1} - 2 = 2^{2^{n + 1}} - 1$ et factorise-le comme une différence de carrés en utilisant $2^{2^{n + 1}} = (2^{2^{n}})^{2}$ .

Pour la question 3, montre par récurrence que $F_{m}$ divise $F_{n} - 2$ pour $m < n$ , puis regarde ce que cela implique pour $g cd (F_{m}, F_{n})$ sachant que les $F_{k}$ sont impairs.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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