القاسم المشترك الأكبر، بيزو والمعادلة الديوفانتية

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 2 — القاسم المشترك الأكبر، مبرهنة بيزو والمعادلة الديوفانتية

نعتبر العددين الصحيحين و .

  1. تطبيق خوارزمية إقليدس لحساب . مع ذكر جميع المراحل.
  2. بالرجوع إلى مراحل الخوارزمية، عبر عن على شكل حيث (مبرهنة بيزو).
  3. استنتج جميع الحلول الصحيحة للمعادلة .
  4. يتوفر تاجر بالدار البيضاء على أوراق نقدية بقيمة 252 درهما (سندات شراء) وقسائم تخفيض بقيمة 180 درهما. يرغب في الحصول على خصم صافي قدره 36 درهما بالضبط (عن طريق الجمع بين المكاسب والمبالغ المستردة). فسر حلول (E) في هذا السياق وأعط الحل الذي له أصغر قيمة موجبة لـ .

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour l'algorithme d'Euclide, commence par diviser $252$ par $180$ et note le reste. Puis divise $180$ par ce reste, et continue jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul sera ton PGCD.
2 الإرشاد 2
Une fois le PGCD trouvé, remonte les divisions : exprime le dernier reste non nul en fonction des deux nombres précédents, puis remplace progressivement en utilisant les équations de l'algorithme pour arriver à $d = 252u + 180v$.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour l'algorithme d'Euclide, commence par diviser par et note le reste. Puis divise par ce reste, et continue jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul sera ton PGCD.

Une fois le PGCD trouvé, remonte les divisions : exprime le dernier reste non nul en fonction des deux nombres précédents, puis remplace progressivement en utilisant les équations de l'algorithme pour arriver à .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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أعداد أولية فيما بينها، مبرهنة غاوس والقواسم كل تمارين الدرس الموافقات والقوى وقابلية القسمة