مبرهنة غاوس والأعداد الأولية

التمرين 4

نذكر بـ مبرهنة غاوس: إذا كان a | bc و pgcd(a, b) = 1، فإن a | c.

1. ليكن a، b، n أعدادًا صحيحة حيث pgcd(a, n) = 1 و pgcd(b, n) = 1. بين أن pgcd(ab, n) = 1.
2. ليكن p عددًا أوليًا. بين أنه إذا كان $p|a^2$ فإن $p|a$.
3. نعتبر المعادلة (E) : $n^2\equiv 2(\mathrm{mod}7)$.
   أ. احسب $k^2$ mod 7 لكل $k\in$ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
   ب. استنتج بخصوص وجود حلول صحيحة للمعادلة (E).
4. بين أن المعادلة $x^2-7y^2=2$ لا تقبل أي حل في ${\mathbb{Z}}^2$.