التمرين 5 لكل عدد صحيح طبيعي n ∈ N *، نضع P ( n ) = n 5 − 5 n 3 + 4 n . عَمِّل P ( n ) إلى جداء عوامل خطية في Z [ n ]. بين أن P ( n ) مضاعف للعدد 120 لكل n ∈ Z . إشارة: يمكن استعمال التعميل والاستدلال على الأعداد الصحيحة المتتالية. بين أن g cd ( P ( n ) , P ( n + 1 )) يقسم 120 لكل n ∈ Z . حدد باقي قسمة P (2023) على 7.

دراسة شاملة — الموافقات، PGCD والأعداد المتتالية

Difficile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5

لكل عدد صحيح طبيعي n $\in$ $N$ *، نضع P(n) = $n^{5} - 5 n^{3} + 4 n$ .

عَمِّل P(n) إلى جداء عوامل خطية في $Z$ [n].
بين أن P(n) مضاعف للعدد 120 لكل n $\in$ $Z$ .
إشارة: يمكن استعمال التعميل والاستدلال على الأعداد الصحيحة المتتالية.
بين أن $g cd (P (n), P (n + 1))$ يقسم 120 لكل n $\in$ $Z$ .
حدد باقي قسمة P(2023) على 7.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لتحليل التعبير، ضع $n$ عاملاً مشتركًا ثم اطرح $X = n^2$ لتحويل $n^4 - 5n^2 + 4$ إلى ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية بدلالة $X$.

2 الإرشاد 2

بعد التحليل إلى جداء 5 أعداد صحيحة متتالية، تذكر خاصية عامة حول قابلية قسمة جداء $k$ أعداد صحيحة متتالية على $k!$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، عبّر عن $P(n+1) - P(n)$ بتحليل الحد المشترك $Q=(n-1)n(n+1)(n+2)$، وهذا يربط القاسم المشترك الأكبر بقاسم معروف.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لتحليل التعبير، ضع $n$ عاملاً مشتركًا ثم اطرح $X = n^{2}$ لتحويل $n^{4} - 5 n^{2} + 4$ إلى ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية بدلالة $X$ .

بعد التحليل إلى جداء 5 أعداد صحيحة متتالية، تذكر خاصية عامة حول قابلية قسمة جداء $k$ أعداد صحيحة متتالية على $k!$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points