Congruences et reste de grandes puissances

Exercice 3 — Congruences et puissances (Niveau : Intermédiaire)

On s'intéresse au reste de certaines grandes puissances dans la division euclidienne.

1. Montrer que $7\equiv -1(\mathrm{mod}8)$, puis calculer le reste de $7^{100}$ dans la division par 8.
2. Montrer que $3^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$. En déduire le reste de $3^{2023}$ dans la division par 8.
3. Déterminer le reste de A = $7^{100}+3^{2023}$ dans la division par 8.
4. Soit n un entier naturel. Montrer que $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ ou $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$. En déduire que $n^2+2$ n'est jamais divisible par 4.