Étude complète — Congruences, PGCD et entiers consécutifs

Exercice 5

Pour tout entier n $\in$ $\mathbb{N}$*, on pose P(n) = $n^5-5n^3+4n$.

1. Factoriser P(n) en un produit de facteurs linéaires dans $\mathbb{Z}$[n].
2. Montrer que P(n) est divisible par 120 pour tout n $\in$ $\mathbb{Z}$.
   Indication : on pourra utiliser la factorisation et raisonner sur les entiers consécutifs.
3. Montrer que $\gcd (P(n),P(n+1))$ divise 120 pour tout n $\in$ $\mathbb{Z}$.
4. Déterminer le reste de la division de P(2023) par 7.