Système de congruences et application — Niveau difficile

Exercice 6

On cherche tous les entiers N $\in$ $\mathbb{N}$ satisfaisant simultanément les conditions suivantes :

• (C₁) : N $\equiv 3(\mathrm{mod}5)$
• (C₂) : N $\equiv 2(\mathrm{mod}7)$
• (C₃) : N $\equiv 1(\mathrm{mod}9)$

1. Justifier que le système (C₁)–(C₂)–(C₃) admet des solutions dans $\mathbb{Z}$ (on vérifiera les conditions du théorème chinois des restes).
2. Résoudre (C₁) et (C₂) simultanément : trouver tous les entiers N tels que N $\equiv 3(\mathrm{mod}5)$ et N $\equiv 2(\mathrm{mod}7)$.
3. En incorporant la condition (C₃), déterminer la solution générale du système.
4. Un organisateur d'un tournoi de football à Marrakech dispose de N balles (avec N < 500). En les répartissant en lots de 5, il en reste 3. En lots de 7, il en reste 2. En lots de 9, il en reste 1. Combien de balles possède-t-il ? (Donner toutes les valeurs possibles.)