قابلية القسمة والموافقات بترديد 9

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 1 — قابلية القسمة والموافقات بترديد 9

نذكر أنه لكل عدد صحيح طبيعي n، نرمز بـ S(n) إلى مجموع أرقام n في الكتابة العشرية.

  1. بين أن كل عدد صحيح طبيعي n يوافق S(n) بترديد 9.
  2. استنتج أن 9 يقسم n إذا وفقط إذا كان 9 يقسم S(n).
  3. حدد باقي القسمة الإقليدية للعدد A = 123456789 987654321 على 9.
  4. عدد صحيح طبيعي n مكون من ثلاثة أرقام يكتب على شكل n = 100a + 10b + c حيث a {1,...,9} و b, c {0,...,9}. بين أن 9 | n ⇔ 9 | (a + b + c). تحقق من هذه القاعدة على العدد 729.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Commence par écrire $n$ sous forme développée selon ses chiffres : si $n = a_k a_{k-1}...a_1 a_0$, alors $n = a_k \times 10^k + a_{k-1} \times 10^{k-1} + ... + a_0$. Maintenant regarde ce que vaut $10$ modulo $9$.
2 الإرشاد 2
Puisque $10 \equiv 1 \pmod{9}$, alors $10^2 \equiv 1 \pmod{9}$, $10^3 \equiv 1 \pmod{9}$, etc. Utilise cette propriété pour simplifier chaque terme $a_i \times 10^i$ dans ta congruence.

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الطريقة — من أين نبدأ

Commence par écrire sous forme développée selon ses chiffres : si , alors . Maintenant regarde ce que vaut modulo .

Puisque , alors , , etc. Utilise cette propriété pour simplifier chaque terme dans ta congruence.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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