Exercice 6 — Congruences avancées et caractérisation (Niveau : Difficile) On rappelle qu'un entier p ≥ 2 est dit premier s'il n'admet pas d'autre diviseur positif que 1 et lui-même. Soit p un nombre premier impair. Montrer que p ≡ 1 ( mod 4 ) ou p ≡ 3 ( mod 4 ) . Montrer que si p est un nombre premier impair, alors p 2 ≡ 1 ( mod 8 ) . Indication : utiliser la question 1 et étudier les deux cas séparément. Soit p et q deux nombres premiers impairs distincts. Montrer que pgcd(p+q, p × q) = 1 ou pgcd(p+q, p × q) = 2 , et préciser dans quel cas chacune de ces valeurs est atteinte. On considère l'entier N = p 2 − q 2 où p et q sont deux nombres premiers impairs distincts avec p > q. a) Factoriser N. b) Montrer que 8 | N. c) Déterminer pgcd(p−q, p+q) en fonction de la parité de p+q, sachant que p et q sont tous deux impairs.

Congruences avancées, invariants et caractérisation d'entiers

Difficile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 6 — Congruences avancées et caractérisation (Niveau : Difficile)

On rappelle qu'un entier p $\geq$ 2 est dit premier s'il n'admet pas d'autre diviseur positif que 1 et lui-même.

Soit p un nombre premier impair. Montrer que p $\equiv 1 (mod 4)$ ou p $\equiv 3 (mod 4)$ .
Montrer que si p est un nombre premier impair, alors $p^{2}$ $\equiv 1 (mod 8)$ .
Indication : utiliser la question 1 et étudier les deux cas séparément.
Soit p et q deux nombres premiers impairs distincts. Montrer que pgcd(p+q, p $\times$ q) = 1 ou pgcd(p+q, p $\times$ q) = 2, et préciser dans quel cas chacune de ces valeurs est atteinte.
On considère l'entier N = $p^{2}$ − $q^{2}$ où p et q sont deux nombres premiers impairs distincts avec p > q.
a) Factoriser N.
b) Montrer que 8 | N.
c) Déterminer pgcd(p−q, p+q) en fonction de la parité de p+q, sachant que p et q sont tous deux impairs.

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1 Indice 1

Raisonne modulo $4$ en eliminant les restes qui rendraient $p$ non premier.

2 Indice 2

Pour $p^2\equiv 1\ [8]$, ecris $p=4k+1$ ou $p=4k+3$ et developpe le carre.

3 Indice 3

Pour $N=p^2-q^2$, factorise en $(p-q)(p+q)$ et utilise $p^2\equiv q^2\equiv 1\ [8]$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Raisonne modulo $4$ en eliminant les restes qui rendraient $p$ non premier.

Pour $p^{2} \equiv 1 [8]$ , ecris $p = 4 k + 1$ ou $p = 4 k + 3$ et developpe le carre.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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