Divisibilité et congruences modulo 9

Exercice 1 — Divisibilité et congruences modulo 9

On rappelle que pour tout entier naturel n, on note S(n) la somme des chiffres de n en écriture décimale.

1. Montrer que tout entier naturel n est congru à S(n) modulo 9.
2. En déduire que 9 divise n si et seulement si 9 divise S(n).
3. Déterminer le reste de la division euclidienne de A = 123456789 $\times$ 987654321 par 9.
4. Un nombre entier naturel n à trois chiffres s'écrit n = 100a + 10b + c avec a $\in$ {1,...,9} et b, c $\in$ {0,...,9}. Montrer que 9 | n ⇔ 9 | (a + b + c). Vérifier ce critère sur le nombre 729.